Vecteurs, droites et plans

« Géométrie dans l’espace 1 Vecteurs, droites et plans de l’espace Ce que dit le programme : Contenus Capacités attendues Démonstrations Algorithmes Approfondissements possibles -Vecteurs de l’espace.

Translations. -Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace. -Droites de l’espace.

Vecteurs directeurs d’une droite.

Vecteurs colinéaires. -Caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur. -Plans de l’espace.

Direction d’un plan de l’espace. -Caractérisation d’un plan de l’espace par un point et un couple de vecteurs non colinéaires. -Bases et repères de l’espace.

Décomposition d’un vecteur sur une base. -Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnés -Exploiter une figure pour exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de vecteurs -Décrire la position relative de deux droites, d’une droite et d’un plan, de deux plans. -Lire sur une figure si deux vecteurs d’un plan, trois vecteurs de l’espace, forment une base. -Lire sur une figure la décomposition d’un vecteur dans une base. -Etudier géométriquement des problèmes simples de configuration dans l’espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité). -Barycentre d'une famille d'un système pondéré de deux, trois ou quatre points. -Exemples d'utilisation des barycentres, en particulier de la propriété d'associativité, pour résoudre des problèmes de géométrie. -Fonction vectorielle de Leibniz. Avant de commencer ce chapitre, je dois savoir : Prérequis Représenter les solides usuels en perspective cavalière Démontrer à l’aide de vecteurs Résoudre un système Livre 1 p54 3, 4 et 6 p54 5 p54 Page 1 sur 8 I. Les vecteurs de l’espace Définition : Un vecteur de l’espace est défini par une direction de l’espace, un sens et une norme. Remarque : Les vecteurs de l’espace suivent les mêmes propriétés de construction qu’en géométrie plane (relation de Chasles par exemple). Définition : Soit 𝑢 ⃗ un vecteur de l’espace. On appelle translation de vecteur 𝑢 ⃗ la transformation qui au point M associe le point M’ tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑢 𝑀𝑀’ ⃗. Remarque : Les translations gardent les mêmes propriétés qu’en géométrie plane. Définition : Soient 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ trois vecteurs de l’espace. On appelle combinaison linéaire des vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ tout vecteur 𝑡 de la forme 𝑡 = 𝑎𝑢 ⃗ + 𝑏𝑣 + 𝑐𝑤 ⃗⃗ , où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des réels. Remarque : Une combinaison linéaire des vecteurs 𝑢 ⃗ et 𝑣 est un vecteur de la forme 𝑎𝑢 ⃗ + 𝑏𝑣 , où 𝑎 et 𝑏 sont des réels. Exemple 1 : Dans le cube ABCDEFGH, ⃗⃗⃗⃗⃗ est une combinaison linéaire des vecteurs 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐺 𝐴𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ En effet, 𝐴𝐺 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ est une combinaison linéaire des vecteurs 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐺 𝐴𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ En effet, 𝐴𝐺 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐸 Page 2 sur 8 Exemple 2 : Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace. ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Soient M et N deux points de l’espace tels que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = 2𝐵𝐶 𝐵𝑁 = −3𝐵𝐴 Montre que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 est une combinaison linéaire de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 3𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = −2𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐴𝐵 − 2𝐴𝐶 Définition : Soient 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs de l’espace. 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires lorsqu’il existe un réel 𝑘 tel que 𝑢 ⃗ = 𝑘𝑣 Remarque : Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace. Définition : Soient O, A, B et C quatre points distincts de l’espace. ⃗⃗⃗⃗⃗ Soient 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ trois vecteurs de l’espace tels que 𝑢 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 , 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 et 𝑤 ⃗⃗ =𝑂𝐶 On dit que 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ sont coplanaires lorsque les points O, A, B et C sont coplanaires (c’est-à-dire qu’ils appartiennent à un même plan). Remarque : Le vecteur nul est coplanaire à tout couple de vecteurs. Propriété Soient 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ trois vecteurs de l’espace tels que 𝑢 ⃗ et 𝑣 ne sont pas colinéaires. 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que 𝑤 ⃗⃗ = 𝑎𝑢.... »