Variables aléatoires
Publié le 02/08/2021
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Séquence 1 0 Varia bles aléatoires 1ère spécialité
1
Variables aléatoires
Dans tout ce chapitre, on considère une expérience aléatoire associé à un univers fini, sur lequel
on a défini une loi de probabilité P.
I.
Notion de variable aléatoire
1. Un premier exemple
Un jeu consiste à lancer trois fois de suite une pièce de monnaie
équilibrée, on note à chaque fois le coté sorti.
On choisit pour
univers de cette expérience l’ensemble des issues équiprobables :
= { FFF , FFP , FPF , FPP , PFF , PFP , PPF , PPP }.
On fixe la règle du jeu suivante : on gagne 2 € à chaque Pile
obtenu et on perd 1 € à chaque Face obtenu.
La fonction X qui, à chaque issue de l’expérience, associe le
gain algébrique du joueur (positif ou négatif), est appelée une variable aléatoire de .
Elle prend pour valeurs 6 ; 3 ; 0 et -3 avec des probabilités que l’on peut calculer.
2. Variable aléatoire
Définition : Soit l’univers associé à une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire X sur consiste à associer à chaque issue de l’univers un nombre réel.
Remarques :
Une variable aléatoire sur est donc une fonction définie sur à valeurs dans ℝ.
Pour une même expérience aléatoire, on peut définir plusieurs variables aléatoires.
L’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X se note X( ) = { ��1,��2,… ,����}
Si � désigne un réel, l’événement « X prend la valeur a » se note {�� = �} ;
l’événement « X prend une valeur supérieure ou égale à a » se note {�� ≥ �}.
Exemple :
Reprenons l’ex périence aléatoire consistant à lancer trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque issue de l’expérience, associe le gain algébrique du joueur.
X( ) = {6;3;0;−3}
L’événement « gagner 3 euro s » se note {�� = 3} ; il est constitué des issues PPF ; PFP ; FPP
On peut donc écrire : {�� = 3}= {PPF ; PFP ; FPP }
Comme il y a équiprobabilité des 8 issues de , la probabilité de cet événement est : ��(�� = 3)= 3
8
Pour la même expérience aléatoire , on pourrait aussi définir la variable aléatoire Z qui, à chaque issue de
l’expérience, associe le numéro du premier lancer qui donne Pile, ou 0 s’il n’y a aucun Pile obtenu.
L’ensemble des valeurs prises par Z est : Z() = {0 ;1 ;2 ;3}
{�= 2} = {FPF ; FPP }.
Comme il y a équiprobabilité des 8 issues de , ��(�= 2) = 2
8= 1
4
FFF, FFP, FPF, FPP, PFF, PFP, PPF, PPP.
»
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