Un outil mathématiques surpuissant : les équations différentielles

« Un outil mathématiques surpuissant : les équations différentielles INTRO : Les équations différentielles sont les outils mathématiques essentiels pour décrire le changement et le mouvement dans le monde qui nous entoure.

Souvent, les eqaus diff sont abordées au G.O étudier la charge électrique d’un condensateur, le refroidissement d’un corps ou la décroissance des noyaux radioactifs.

Cependant, ces notions demandent une culture déjà dvp sur le sujet.

.

Dans cette présentation , nous nous pencherons d’abord sur l’ aspect purement théorique et mathématique des equa diff .

Puis,pour une compréhension plus simple et plus efficace des equas diff nous étudierons en quoi elles permettent notamment de modéliser l’écoulement de l’eau, que nous illustrerons par la vidange d ‘une bouteille tenue verticalement.

J’ai dvp ce sujet car mon père est ingénieur en hydraulique et qu’il parle souvent de son travail basé sur la mécanique des fluides. En discutant avec lui, il m'a suggéré de me pencher sur le rôle des équations différentielles dans la modélisation des écoulements d'eau.

Il m'a expliqué comment ces équations sont au cœur de son travail, permettent de connaitre le comportement des fluides dans diverses situations, que ce soit dans les rivières, les canalisations ou les barrages. I/ Dans un premier temps, nous allons nous plonger au coeur des équas différentielles.

Pour pouvoir en parler, il faut d’abord comprendre la notion de dérivées.

La dérivée d’une fonction f(x) représente le taux de variation de cette fonction.

Elle peut être dénotée f’(x) ou encore df/dx.

En effet, si une fonction est définie sur une abscisse x et une ordonnée y, sa dérivée en un point d’abscisse Xo précis correspond à la variation de Xo sur la variation de Yo syr un instant tres court (tendant vers 0) ce qui correspond au delta noté d. Pour mieux comprendre, prenons un exemple concret : la vitesse d'un objet en mouvement.

Vous etes en voiture le long d’un axe x gradué en metres ( donc la position) .Cette fois l’ordonnée t correspond au temps.

Si, pendant un temps t d’une seconde vous parcourez 30 mètres, votre vitesse moyenne sur ses 1 secondes est de 30m/S.

La dérivée dans ce modèle calcule votre vitesse instantanée au point x, en faisant tendre la variable t du temps vers 0. Deslors, si la f modélise votre position en fonction du temps, et qu’à x=20 mètres vous roulez à 40m/S, on notera f’(20)=40 Une fonction f définie sur cet interalle peut être, dans certains cas, dérivée plusieurs fois voire une infité de fois sur ce meme intervalle, par exemple une fonction dérivée deux fois s’écrit f’’ ( f seconde). Maintenant, intéressons nous directement aux équas diff: Introduites par le philo/mathemat Leibniz au 17 eme siecle, Une équation différentielle est une équation où l'inconnue n’est pas une variable comme on a l’habitude de voir, mais l’inconnue est une fonction, et qui se présente sous la forme d'une relation entre cette fonction et ses dérivées. En guise d’exemple , l’équation f’(x)+2=2f(x) est une équation différentielle, car il advient de trouver toutes les fonctions f dérivables sur I et vérifiant pour tout x de I cette équation Ici, comme seule la dérivée première intervient, l'équation est dite de premier ordre ou d’ordre 1.

Si l’on relie une dérivée seconde à une fonction dans une équa diff, l’équation est dite d’ordre 2 etc. Les résolutions II/ Deslors, cette notion d’équas diff semble abstraite.

Pour l’illustrer de maniere convaincante, prenons cette fois un phénomène observée par tous, plus simple, L’écoulement des liquides (ici on prend de l’eau) , appelé vidange Faisons l’expérience avec une demi-bouteille, assimilée à un cylindre, renversée tête en bas, le fond à l’air libre, figure 1.

Remplissons-la jusqu’à la hauteur z-o et débouchons-la à l’instant t-o= 0 secondes.

Notons le niveau d’eau restante en fonction du temps z(t) , la condition initiale imposant z(to)=z-o .

Notre intérêt ici est de connaître à nimporte quel instant la hauteur d’eau z grace aux maths Plus il reste de matière m(mesurée par exemple dans une unité de masse) à l’intérieur du contenant, plus elle pousse vers la sortie pour s’en échapper. Il exssite donc une relation du premier ordre qui fait intervenir la masse m et la perte de masse par unité de temps : dm/dt.

Or, La hauteur de l’eau est proportionnelle à sa masse ( plus la hauteur est grande, plus la bouteille sera lourde), ainsi on peut cette fois établir une relation entre z(t) et dz/dt notée z’.

La trame d’une équation différentielle commence à se dessiner. En effet, il semblerait y.... »