topologie.

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topologie. n.f., branche des mathématiques qui présente une vue synthétique de l'analyse,
tout en conservant le langage imagé de la géométrie. La topologie est née au début du
XXe siècle pour donner un cadre théorique aux propriétés des fonctions qui semblaient
généraliser certaines propriétés des nombres, en particulier pour traduire des notions telles
que celles de limite et de continuité.

Ouverts et fermés.

Soit E un ensemble. On considère un ensemble Ú de parties de E, appelées parties
ouvertes, ou ouverts, satisfaisant aux conditions suivantes :
- une réunion quelconque (finie ou infinie) d'éléments de Ú appartient encore à Ú ;
- l'intersection de deux éléments de Ú appartient encore à Ú ;
- la partie vide de E et la partie E elle-même appartiennent à Ú.
L'exemple le plus simple est celui où E est l'ensemble u des nombres réels. On peut
prendre pour Ú l'ensemble des parties P de u possédant la propriété suivante : dès que P
contient x, il contient aussi un intervalle centré en x (c'est-à-dire un intervalle du type ]x ? , x + ? [). Les intervalles ouverts apparaissent alors comme des ouverts particuliers.
Dans les espaces métriques, on choisit l'ensemble Ú des ouverts de manière analogue,
les intervalles étant remplacés par des boules.
On dit qu'une partie de E est fermée si son complémentaire dans E est un ouvert. Une
intersection quelconque de fermés est fermée. La réunion de deux fermés est fermée. La
partie vide et E lui-même sont des fermés.
Dans u, les intervalles fermés sont des fermés particuliers. Plus particulièrement
encore, les singletons sont des parties fermées.

Voisinages.
On dit qu'une partie V de E est un voisinage d'un point x si elle contient un ouvert
contenant x. Pour qu'une partie soit ouverte, il faut et il suffit qu'elle soit un voisinage de
chacun de ses points.

Espaces topologiques.
Un espace topologique est un ensemble E muni d'un ensemble d'ouverts. Comme nous
venons de le voir, l'ensemble u des nombres réels est un espace topologique : il en est de
même pour les espaces métriques. Un espace topologique est la bonne structure pour
définir les notions de limite, grâce aux voisinages, et pour exprimer les propriétés de
densité, de compacité, de frontières, de connexité, etc., dont les définitions intuitives
engendrent des paradoxes qui avaient pu troubler les mathématiciens et les philosophes
des siècles précédents.
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