tenseur de Riemann-Christoffel ou tenseur de courbure de l’espace riemannien.

« Nous avons vu que le développement de deux chemins différents, partant et aboutissant à deux mêmes points, donne des repères dont les positions finales sont distinctes.

Par suite, les composantes de la dérivée seconde d’un vecteur, calculées selon deux chemins différents, ne sont pas égales. Calculons la dérivée covariante seconde d’un vecteur en utilisant deux chemins différents. Considérons un espace de Riemann de coordonnées ui et déterminons la dérivée covariante seconde par rapport à uj, puis par rapport à uk et ensuite, inversons l’ordre des dérivations. Pour cela, reprenons l’expression de la dérivée covariante seconde d’un vecteur V de composantes covariantes vi , soit : Calculons à présent la dérivée covariante d’abord par rapport à uk ∇k(∇jvi)=∂kjvi−(∂kΓlji)vl−Γlji∂kvl−Γrik∂jvr+ΓrikΓljrvl−Γrjk∂rvi+ΓrjkΓlrivl(6.6.1) puis par rapport à uj.

On obtient, en permutant les indices j et k dans l’expresion précédente : En admettant que les composantes vérifient les propriétés classiques ∂kjvi=∂jkvi ∇j(∇kvi)=∂jkvi−(∂jΓlki)vl−Γlki∂jvl−Γrij∂kvr+ΓrijΓlkrvl−Γrkj∂rvi+ΓrjkΓlrivl(6.6.2) , on obtient par soustraction des deux expressions précédentes : Par suite des propriétés tensorielles des dérivées covariantes et des composantes vl ∇k(∇jvi)−∇j(∇kvi)=(∂jΓlik−∂kΓlij+ΓrikΓljr−ΓrijΓlkr)vl(6.6.3) , la quantité entre parenthèses est un tenseur d’ordre quatre que l’on note : Le tenseur Riljk Riljk=∂jΓlik−∂kΓlij+ΓrikΓljr−ΓrijΓlkr(6.6.4) est appelé tenseur de Riemann-Christoffel ou tenseur de courbure de l’espace riemannien.

La courbure d’un espace de Riemann va être caractérisée à l’aide de ce tenseur.

Auparavant nous allons voir certaines propriétés du tenseur de Riemann-Christoffel. 6.6.2 Composantes covariantes Les composantes covariantes du tenseur de Riemann-Christoffel sont données par : Utilisons les relations suivantes entre les symboles de Christoffel de première et de deuxième Rijrs=gjkRikrs(6.6.5) espèce : et remplaçons les quantités gjk∂rΓkis gjkΓkrl=Γjrl;gjkΓksl=Γjsl(6.6.6) par ∂r(gjkΓkis)−Γkis∂rgjk dans la relation .

On obtient, après permutation de k et l : La relation (5.1.28) nous donne : Rijrs=∂r(gjkΓkis)−∂s(gjkΓkir)+Γlis(Γjrl−∂rgjl)−Γlir(Γjsl−∂sgjl)(6.6.7) Après permutation sur les indices et utilisation des relations (6.6.6) dans l’expression (6.6.8), on Γikj−∂kgij=−Γjki(6.6.8) obtient : Remplaçons les symboles de Christoffel par leur expression en fonction des coefficients gij Rijrs=∂rΓjis−∂sΓjir−ΓkrjΓiks+ΓksjΓkir(6.6.9) de l’élément linéaire ; on a selon la relation Reportant les expressions (6.6.10) dans (6.6.9), on obtient finalement : 2∂rΓjis=∂rigsj+∂rsgji−∂rjgis(6.6.10) 6.6.3 Système de coordonnées normales Rijrs=12(∂rigsj+∂sjgir−∂rjgis−∂sigrj)−ΓkrjΓkis+ΓksjΓkir Il est intéressant d’introduire un système de coordonnées locales particulières pour les espaces de Riemann, appelées coordonnées normales, car elles permettent de simplifier considérablement la démonstration de certaines identités, en particulier pour le tenseur de Riemann-Christoffel. Soit un point M0 d’un espace riemannien, de coordonnées yi.

Donnons-nous en ce point un vecteur unitaire n de direction arbitraire, de composantes ni.

Pour chaque point M situé au voisinage de M0, on démontre qu’il existe un seul choix de direction n en M0 de telle sorte qu’une géodésique zi(s), solution des équations , passe par M . Prenons pour chaque point M du voisinage de M0 , les coordonnées suivantes : où s zi=sni(6.6.12) est la distance le long de la géodésique de M0 en M.

Les coordonnées zi sont appelées les coordonnées normales du point M . La propriété essentielle des coordonnées normales réside dans le fait que, au point M0 , les symboles de Christoffel du système de coordonnées sont tous nuls, de même que les dérivées ∂kgij en ce point.

Démontrons qu’il en est bien ainsi.

Selon on obtient pour ni fixé : L’équation des géodésiques écrite en coordonnées zi dzids=ni;d2zids2=0(6.6.13) devient alors, compte tenu de pour toutes les directions en M0 : Puisque Γijk Γijknjnk=0(6.6.14) est symétrique par rapport aux indices j, k, on a pour tout i : Γijk=0 en M0 pour tout.... »