surface.

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surface. n.f. MATHÉMATIQUES : ensemble de points de l'espace pouvant être l'image d'une
portion de plan par une application continue. Le langage courant ne distingue pas un ensemble
de points de sa mesure lorsqu'une unité a été choisie ; en mathématiques, on préfère
employer le mot aire pour désigner le nombre qui mesure une surface.

Équations paramétriques d'une surface.
Soit un domaine plan D où chaque point est repéré par un couple de réels (u, v) et trois
fonctions continues f , g, h de D dans u. On appelle « surface continue S » l'ensemble des
points de coordonnées [f (u,v), g (u,v), h (u,v)] lorsque (u,v) parcourt D.
Les trois équations x = f ( u,v), y = g ( u,v) et z = h ( u,v) donnant les coordonnées d'un
point M(x,y,z) de S sont appelées équations paramétriques de S. Par exemple :
D = [0,2Y[×[0,1] et
x = v · cos u
y = v · sin u
z = 1 - vest l'équation du cône dessiné sur la figure.
La surface S est dite paramétrée par u et v, et les courbes dessinées sur S, lorsque u
ou v sont constants, sont dites « courbes coordonnées » de S.

Équations cartésiennes d'une surface.
Une autre manière pour caractériser un point d'une surface est de poser une condition
nécessaire et suffisante sur les coordonnées de ce point pour qu'il appartienne à la surface.
Dans l'exemple précédent, on peut obtenir une telle équation en éliminant les paramètres u
et v dans les trois équations paramétriques : puisque cos2u + sin2u = 1
x 2 + y 2 = v 2 = (1 - z ) 2 ,
donc x2 + y2 - z2 + 2z - 1 = 0 est l'équation cartésienne du cône dessiné.
D'une façon générale, si F(x,y,z) = 0 est l'équation d'une surface, alors, en un point
M( x,y,z), le plan tangent à la surface est perpendiculaire au vecteur (F'x , F'y , F'z).

Surfaces particulières.
Les plans, cônes, cylindres, sphères, hélices, etc., sont des surfaces.
Une surface est dite de révolution lorsqu'elle est engendrée par une courbe tournant
autour d'un axe ; si les axes de coordonnées sont choisis de manière que O z soit l'axe de
la surface, son équation cartésienne est alors du type G ( x2 + y2, z2) = 0 puisque des
plans horizontaux (z = constante) la coupent suivant des cercles centrés sur l'axe
(x2 + y2 = constante).
Une surface est dite réglée lorsqu'elle est engendrée par une famille de droites ; ses
équations paramétriques sont alors du type :
x = a (u) + v · a (u)
y = b (u) + v · b (u)
z = ( (u) + v · c (u)
où P( u) = [ a ( u), b ( u), ( ( u)] décrit une courbe et où Q(u) = [ a(u),b(u),c(u)] est un
vecteur directeur de la droite de la surface passant par M(u).