Sujet n°5 : loi de refroidissement

« Sujet n°5 : loi de refroidissement Approfondissement en terminale S Groupe Mathématique Liaison Lycée-Université Cette fiche a été réalisée par des enseignantes et des enseignants des lycées et des universités de l'Académie de Créteil. Titre : loi de refroidissement. Disciplines mises en jeu : Mathématiques et Sciences Physiques. Objectifs :découvrir et travailler sur les équations différentielles du premier ordre. Mise en place : une séance de TD et finir le reste en devoir maison. Contenu : après avoir découvert la définition d'une équation différentielle puis vu son intérêt en sciences physiques, on apprend à les résoudre à l'aide d'un logiciel de calcul puis « à la main ». I) Qu'est-ce qu'une équation différentielle ? 1) Soit f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par f (t)=e−3t Calculer f ' (t) puis exprimer f ' (t) en fonction de f (t) . On dit que la fonction f est solution de l'équation différentielle y ' +3 y=0 .

Cela signifie que l'inconnue y est désormais une fonction.

Dans cette question, on a montré que la fonction f est solution de l'équation différentielle y ' +3 y=0 2) Montrer que pour tout réel r, la fonction f (t)=r e−3 t est solution de l'équation différentielle y ' +3 y=0 . II) Application pratique Expérience physique : un récipient contenant de l’eau et un thermomètre sont placés dans une enceinte dont on maintient la température constante égale à 0°. A l’instant t=0 (exprimé en heure) la température de l’eau est de 22°et on observe l’évolution de la température en fonction du temps A l’aide du tableur de Geogebra, on obtient : Il semble exister une relation entre la température de l’eau et le temps passé dans l’enceinte. La loi de refroidissement de Newton affirme : « la vitesse de refroidissement d’un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant » A) Modélisation : On note f (t) la température de l’eau en fonction du temps. t est le temps exprimé en heures et f la température exprimée en degrés. 1) Quel est le domaine de définition de la fonction f On suppose que la fonction f sa dérivée. ? est dérivable sur son domaine de définition et on note f ' 2) Que représente f ' (t) ? 3) Expliquer pourquoi la loi de refroidissement de Newton permet.... »