Sujet grand oral L’approximation des nombres

« Introduction L’approximation des nombres réels est un problème fondamental en mathématiques et dans de nombreux domaines pratiques.

Les méthodes d’approximation sont utilisées pour obtenir des valeurs numériques proches des solutions exactes, souvent lorsque ces dernières sont difficiles à calculer analytiquement. Parmi les différentes approches pour réaliser ces approximations, l’utilisation de suites numériques joue un rôle central. Dans cette présentation, nous explorerons différentes méthodes d’approximation basées sur l’utilisation de suites.

Nous examinerons en détail trois de ces méthodes : la méthode de dichotomie, la méthode de Newton et la méthode des suites récurrentes.

Pour chaque méthode, nous étudierons son principe de fonctionnement, son efficacité, ainsi que ses avantages et inconvénients. Notre objectif est de comprendre comment ces méthodes utilisant des suites permettent d’obtenir des approximations précises des nombres réels et de comparer leur performance dans différents contextes.

Nous analyserons également les critères de convergence, la complexité algorithmique et les domaines d’application préférentiels de chaque méthode. En explorant ces techniques d’approximation, nous mettrons en évidence l’importance des suites numériques dans la résolution de problèmes pratiques et théoriques en mathématiques, en mettant en lumière les défis et les opportunités associés à chaque approche. I.

Introduction aux suites et à l’approximation des nombres réels A.

Définition des suites Une suite est une collection ordonnée d’éléments, généralement des nombres, indexés par les entiers naturels.

Formellement, une suite (an ) est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturels, telle que an soit l’image de n par cette fonction.

On note souvent les éléments d’une suite comme a1 , a2 , a3 , .... B.

Importance de l’approximation des nombres réels dans divers contextes mathématiques et pratiques L’approximation des nombres réels est cruciale dans de nombreux domaines mathématiques et pratiques.

En mathématiques, elle est souvent utilisée pour obtenir des résultats numériques dans des situations où une solution exacte n’est pas possible.

Dans la pratique, elle est essentielle dans divers domaines tels que l’ingénierie, la physique, la finance, etc., où des calculs numériques sont nécessaires pour des problèmes concrets. 1 C.

Énoncé du problème : comment utiliser les suites pour approximer un nombre réel donné L’objectif est de trouver des méthodes efficaces pour approximer un nombre réel donné à l’aide de suites.

En utilisant des suites numériques, nous cherchons à obtenir une séquence de nombres qui converge vers la valeur recherchée, offrant ainsi une approximation précise du nombre réel donné. II.

Méthodes d’approximation à l’aide de suites A.

Méthode de dichotomie La méthode de dichotomie est une technique d’approximation utilisée pour trouver les racines d’une fonction continue sur un intervalle donné.

Son principe repose sur le théorème des valeurs intermédiaires. 1.

Principe de la méthode Soit f (x) une fonction continue sur l’intervalle [a, b] avec f (a) et f (b) de signes opposés.

Le principe de la méthode de dichotomie consiste à diviser cet intervalle en deux sous-intervalles égaux et à choisir celui dans lequel la fonction change de signe.

On répète ensuite le processus sur ce sous-intervalle plus petit. À chaque étape, on obtient ainsi un nouvel intervalle contenant une racine de la fonction. 2.

Application numérique d’un exemple Supposons que nous voulons trouver une approximation de la racine de l’équation f (x) = x2 − 2 = 0 sur l’intervalle [1, 2].

La fonction change de signe entre f (1) = −1 et f (2) = 2, donc nous choisissons cet intervalle.

En divisant cet intervalle en deux, nous obtenons [1, 1.5] et [1.5, 2].

La racine se trouve dans l’un de ces intervalles.

En répétant ce processus, nous obtenons une séquence d’intervalles de plus en plus petits qui convergent vers la racine de l’équation. B.

Méthode de Newton La méthode de Newton, également connue sous le nom de méthode de Newton-Raphson, est une technique d’approximation utilisée pour trouver les zéros (racines) d’une fonction.

Elle est basée sur l’itération d’une formule récurrente. 1.

Principe de la méthode Soit f (x) une fonction continue et dérivable.

La méthode de Newton consiste à démarrer avec une estimation initiale x0 de la racine et à utiliser la formule 2 récurrente suivante pour obtenir une meilleure approximation : xn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) Où xn+1 est une meilleure approximation que xn , et f ′ (xn ) est la dérivée de f évaluée en xn . 2.

Application numérique d’un exemple Prenons l’exemple de l’équation f (x) = x2 − 2 = 0 que nous avons considérée précédemment.

Si nous choisissons une estimation initiale x0 = 2, alors la formule récurrente devient : xn+1 = xn − x2n − 2 2xn En appliquant cette formule récurrente, nous obtenons une séquence de valeurs x1 , x2 , x3 , ...

qui convergent vers la racine de l’équation. C.

Méthode des suites récurrentes La méthode des suites récurrentes est une autre approche d’approximation utilisée pour trouver les racines d’une fonction.

Elle repose sur la convergence d’une séquence définie par une relation récurrente. 1.

Principe de la méthode Supposons que nous ayons une fonction f (x) dont nous voulons trouver une racine.

Nous pouvons démarrer avec une estimation initiale x0 et utiliser une relation récurrente de la forme : xn+1 = g(xn ) Où g(x) est une fonction qui génère la prochaine approximation xn+1 à partir de la valeur actuelle xn .

Cette séquence de valeurs x0 , x1 , x2 , ...

converge vers la racine de la fonction si certaines conditions sont satisfaites. 2.

Application numérique d’un exemple Considérons à nouveau l’équation f (x) = x2 − 2 = 0.

Si nous utilisons une relation récurrente de la forme xn+1 = 21 (xn + x2n ), alors la séquence des valeurs x0 , x1 , x2 , ...

converge vers la racine de l’équation. 3 III.

Analyse et comparaison des méthodes d’approximation A.

Précision et convergence des différentes méthodes Les critères de convergence et la précision des méthodes d’approximation sont essentiels pour évaluer leur efficacité dans la résolution de problèmes réels. 1.

Critères de convergence Les critères de convergence évaluent la rapidité avec laquelle chaque méthode converge vers la solution recherchée.

Les principaux critères incluent : — La convergence monotone : la séquence d’approximations doit.... »