suites récurrentes en MPSI

« Suites numériques en MPSI On appellera suite réelle tout élément de RN . I - Quelques théorèmes généraux 1) Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp.

−∞) si et seulement si ∀A > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ un ≥ A (resp.

un ≤ −A). Attention ! Dans le cas où (un ) admet pour limite ±∞, (un ) est divergente. 2) Composition de limites Soient f une fonction numérique et (un )n∈N une suite réelle telle que un soit dans l’ensemble de définition de f à partir d’un certain rang.
 Si (un )n∈N converge vers a et si f admet une limite ℓ en a, alors la suite f (un ) n∈N converge vers ℓ.
 Si (un )n∈N converge vers a et si f est continue en a, alors la suite f (un ) n∈N converge vers f (a). 3) Convergence et relation d’ordre a) Passage à la limite dans une inégalité Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes telles que, à partir d’un certain rang, un ≤ vn , alors lim (un ) ≤ lim (vn ). Attention ! Avant d’appliquer cette propriété, bien justifier l’existence des limites (voir aussi le paragraphe suivant). 1 Attention ! Les inégalités strictes ne se transmettent pas en général (cf.

∀n ∈ N∗ > 0). n b) Théorème d’encadrement (dit “des gendarmes”) Soient (un )n∈N , (vn )n∈N , (wn )n∈N trois suites réelles telles que : • à partir d’un certain rang, un ≤ vn ≤ wn ; • (un )n∈N et (wn )n∈N convergent vers une même limite ℓ. Alors (vn )n∈N converge également vers ℓ. Attention ! Ce n’est pas le cas sans l’hypothèse de la limite commune à (un )n∈N et (wn )n∈N (cf.

∀n ∈ N − 1 ≤ (−1)n ≤ 1). NB : Ce résultat permet d’établir la convergence de (vn )n∈N . 4) Convergence des suites monotones Théorème : toute suite réelle croissante majorée converge ; toute suite réelle décroissante minorée converge. Suites numériques en MPSI Page 2 Plus précisément, si (un )n∈N est une suite réelle croissante, alors lim un = sup {un , n ∈ N} ∈ R ∪ {+∞} n→∞ (soit elle est majorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite +∞). De même, si (un )n∈N est une suite réelle décroissante, alors lim un = inf {un , n ∈ N} ∈ R ∪ {−∞} n→∞ (soit elle est minorée, auquel cas elle converge, soit elle a pour limite −∞). 5) Suites adjacentes Définition : deux suites réelles (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes si et seulement si l’une est croissante, l’autre décroissante et lim (an − bn ) = 0. n→∞ Théorème : si (an )n∈N et (bn )n∈N sont adjacentes, avec (an )n∈N croissante et (bn )n∈N décroissante, alors ∀ (p, q) ∈ N2 ap ≤ bq et (an )n∈N et (bn )n∈N convergent vers une même limite.
 NB : un énoncé équivalent est le théorème des segment emboîtés : si [an , bn ] n∈N est une suite décrois sante de segments de R, telle que lim (an − bn ) = 0, alors [an , bn ] est un singleton. n→∞ n∈N Remarque pratique : pour montrer que deux suites sont adjacentes, sachant que l’une est croissante et l’autre décroissante, penser éventuellement à montrer d’abord que les deux convergent (par exemple à l’aide du § 1), puis que leurs limites sont égales (en utilisant les définitions des suites).

On en déduit que la différence converge vers 0 ! 6) Suites extraites Définition : on suite extraite (ou sous-suite) d’une suite (an )n∈N toute suite de la forme 
appelle aϕ(n) n∈N , où ϕ est une application strictement croissante de N dans N (en particulier lim ϕ = +∞). +∞ Exemples : (an+1 )n∈N , (a2n )n∈N , (a2n )n∈N sont des suites extraites de (an )n∈N . Propriété : si (an )n∈N admet une limite (dans R), alors toute suite extraite de (an )n∈N admet la même limite. Exercice classique : si (a2n )n∈N et (a2n+1 )n∈N admettent une même limite ℓ, alors (an )n∈N admet
 pour limite ℓ (mais cf.

(−1)n n∈N .

.

.

). 7) Théorème de Bolzano-Weierstrass Théorème : de toute suite réelle bornée, on peut extraire une suite convergente. II - Quelques idées pour l’étude de suites récurrentes 1) Généralités On se donne une application f : D → R et on s’intéresse aux suites réelles (un )n∈N définies par la donnée de u0 , dans l’ensemble de définition D de f , et la relation de récurrence : ∀n ∈ N un+1 = f (un ). a) Définition de la suite (un )n∈N On peut chercher une.... »