SUITES NUMERIQUES REELLES PARTICULIERES.Première

« SUITES NUMERIQUES REELLES PARTICULIERES Chap 9 I. SUITES ARITHMETIQUES 1.

Définition. On dit qu’une suite (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ est arithmétique s’il existe un réel r tel que : pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛+1 = 𝑟 + 𝑢𝑛 Le nombre r est appelé raison de la suite arithmétique. Une suite arithmétique est parfaitement définie par son premier terme et sa raison (Le premier terme d’une suite n’est pas nécessairement 𝑢0 .) (Représentation sur la droite des réels.) Exemples • La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 0. • La suite des nombres pairs est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 0. 1 • La suite (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ définie, pour tout n de ℕ par : 𝑢𝑛 = 3 𝑛 + 4 est-elle arithmétique ? 𝑢0 = 12 3 ; 𝑢1 = 13 3 ; 𝑢2 = 14 3 ; 𝑢3 = 15 3 1 On conjecture que pour passer d’un terme au suivant, on rajoute 3. 1 On conjecture que (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ est la suite arithmétique de raison 𝑟 = et de premier terme 3 𝑢0 = 4. • 1 𝑛 La suite (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ définie, pour tout n de ℕ par : 𝑢𝑛 = (3) + 4 est-elle arithmétique ? 13 37 𝑢0 = 5 ; 𝑢1 = ; 𝑢2 = 3 9 2 2 𝑢1 − 𝑢0 = − 3 ; 𝑢2 − 𝑢1 = − 9 𝑢1 − 𝑢0 ≠ 𝑢2 − 𝑢1 La suite (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ n’est pas arithmétique. 2.

Propriétés. 1.

Si (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ est une suite arithmétique de raison r alors pour tout entier naturel n, 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛𝑟 (La suite définie au préalable par récurrence peut être ainsi définie par une formule explicite.) Exemple : 𝑢0 = 3 { ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢𝑛+1 = 2 + 𝑢𝑛 (𝑢𝑛 )𝑛∈ℕ est la suite arithmétique de premier terme 𝑢0 = 3 et de raison r = 2 D’après la propriété ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢𝑛 = 3 + 2𝑛 Conséquence : La fonction associée à une suite arithmétique est une fonction affine. Démonstration : 𝑢1 = 𝑢0 + 𝑟 𝑢2 = 𝑢1 + 𝑟 𝑢3 = 𝑢2 + 𝑟 …………….. »