SUITES NUMÉRIQUES ET RÉCURRENCE

« SUITES NUMÉRIQUES ET RÉCURRENCE I. Raisonnement par récurrence A.

Propriété mathématique Définition : Une propriété mathématique est une phrase, écrite ou non avec des symboles mathématiques, qui contient un verbe et qui est soit vraie soit fausse. Remarque : Dans le cas où la propriété concerne un entier naturel 𝑛, on peut la noter 𝑃(𝑛). Cette propriété peut être : • Une égalité, par exemple : 𝑛(𝑛 + 1) 𝑃(𝑛) ∶ 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 = 2 • Une inégalité, par exemple : 𝑃(𝑛) ∶ (1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎 • Une phrase, par exemple : 𝑃(𝑛) ∶ 𝑛2 + 𝑛 est un multiple de 2. B.

Principe de récurrence Principe de récurrence : Soit 𝑛0 un entier naturel et 𝑃(𝑛) une propriété définie pour 𝑛 ≥ 𝑛0 . Si l’on démontre les deux étapes suivantes : • Etape 1 (initialisation) : 𝑃(𝑛0 ) est vraie. • Etape 2 (hérédité) : Pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑛0 fixé, si 𝑃(𝑛) est vraie, alors 𝑃(𝑛 + 1) est vraie. Alors on peut conclure que 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier 𝑛 ≥ 𝑛0 . C.

Raisonnement par récurrence 𝑃(𝑛) désigne une propriété concernant un entier naturel 𝑛 et 𝑛0 désigne un entier naturel. Pour démontrer par récurrence qu’une propriété 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 𝑛0 , on procède en 3 étapes : VPX – TleSpé Chap1 cours élève Suites 24/06/2021 1/4. »