Succession d'épreuves indépendantes Schéma de BERNOULLI

« 1 Succession d'épreuves indépendantes Schéma de BERNOULLI I.

Répétition d'expériences indépendantes Exemples : 1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat.

On répète ainsi la même expérience (lancer un dé) et les expériences sont indépendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le résultat d'un autre lancer). 2) Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires.

On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite.

Ces expériences sont identiques et indépendantes. Définition : Plusieurs expériences sont identiques et indépendantes si : - elles ont les mêmes issues, - chaque issue possède la même probabilité. Propriété : On considère une expérience aléatoire à deux issues A et B avec les probabilités P(A) et P(B). Si on répète l'expérience deux fois de suite de façon indépendante : - la probabilité d'obtenir l'issue A suivie de l'issue B est égale à P(A) x P(B), - la probabilité d'obtenir l'issue B suivie de l'issue A est égale à P(B) x P(A), - la probabilité d'obtenir deux fois l'issue A est égale à P(A)2, - la probabilité d'obtenir deux fois l'issue B est égale à P(B)2. Méthode : Représenter la répétition d'expériences identiques et indépendantes dans un arbre On considère l'expérience suivante : Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges.

On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne.

On répète l'expérience deux fois de suite. 1) Représenter l'ensemble des issues de ces expériences dans un arbre. 2) Déterminer la probabilité : a) d'obtenir deux boules blanches b) une boule blanche et une boule rouge c) au moins une boule blanche. 1) On note A l'issue "On tire une boule blanche" et B l'issue "On tire une boule rouge". 2 P(A) = 3 2 = 0,4. 5 5 On résume les issues de l'expérience dans un arbre de probabilité : 2) = 0,6 et P(B) = a) Obtenir deux boules blanches correspond à l'issue (A ; A) : P1 = 0,6 x 0,6 = 0,36 (d'après l'arbre). b) Obtenir une boule blanche et une boule rouge correspond aux issues (A ; B) et (B ; A) : P2 = 0,24 + 0,24 = 0,48. b) Obtenir au moins une boule blanche correspond aux issues (A ; B), (B ; A) et (A ; A) : P3 = 0,24 + 0,24 + 0,36 = 0,84. - Pour une expérience dont le nombre d'issues est supérieur à 2, le principe reste le même. Pour une expérience dont le nombre de répétitions est supérieur à 2, le principe reste le même. Propriété : Lorsqu’on répète 𝑛 fois de façon indépendante une expérience aléatoire dont les issues 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 ont pour probabilité 𝑃(𝐴1 ), 𝑃(𝐴2 ), … , 𝑃(𝐴𝑛 ), alors la probabilité d’obtenir la suite d’issues (𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 ) est égale aux produits de leurs probabilités 𝑃(𝐴1 ) × 𝑃(𝐴2 ) × … × 𝑃(𝐴𝑛 ). Exemple : On lance un dé à six faces 4 fois de suite. On considère les issues suivantes : A : On obtient un nombre pair. B : On obtient un 1. C : On obtient un 3 ou un 5. La probabilité d'obtenir la suite d'issues (A ; B ; A ; C) est : 1 1 1 1 1 𝑃(𝐴 ; 𝐵 ; 𝐴 ; 𝐶) = × × × = 2 6 2 3 72 3 II.

Épreuve de Bernoulli Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues que l'on peut nommer "succès" ou "échec". Exemples : 1) Le jeu du pile ou face : On considère par exemple comme succès "obtenir pile" et comme échec "obtenir face". 2) On lance un dé et on considère par exemple comme succès "obtenir un six" et comme échec "ne pas obtenir un six". Définition : Une loi de Bernoulli est une loi de probabilité qui suit le schéma suivant : - la probabilité d'obtenir un succès est égale à p, - la probabilité d'obtenir un échec est égale à 1 – p. p est appelé le paramètre de la loi de Bernoulli. Exemples : Dans les exemples présentés plus haut : 1 1 1) 𝑝 = 2) 𝑝 = 2 6 Convention : Au succès, on peut associer le nombre 1 et à l'échec, on peut associer le nombre 0. Soit la variable aléatoire 𝑋 qui suit une loi de Bernoulli de paramètre 𝑝. Dans ce cas,.... »