Sonde vers Mars: La trajectoire d’une sonde vers Mars

« La trajectoire d’une sonde vers Mars avec Geogebra Informations spatiales La NASA a lancé lundi 18 novembre la sonde Maven 1 (Mars Atmosphere and Volatile Evolution) Lancement : 13 h 28, heure locale (19 h 28, heure française) et mise en orbite autour de la Terre. Départ vers Mars : mardi 19 novembre Mars Orbiter Mission 2 (abrégé en MOM) ou en sanskrit Mangalyaan - lancement : 5 novembre 2013 - mise en orbite elliptique très allongée, son orbite est agrandie à chaque passage au périgée. - départ pour Mars : le 1er décembre 2013. - durée du voyage : 10 mois. Introduction Figure 1 - la trajectoire Terre Mars. Comme tout corps isolé dans le système solaire, une sonde spatiale, lancée dans le système solaire, moteurs éteints, suit une orbite keplérienne : une ellipse dont le Soleil est à l’un des foyers. A partir de cette simple constatation, il est possible de construire approximativement et simplement les trajectoires qui amèneront les sondes près de la planète Mars : caractéristiques des orbites, temps de parcours. Présentation et déroulement Le travail va consister en : - faire un petit rappel sur les ellipses : paramètres de base et relations - trouver les relations qui relient caractéristiques de l’orbite de la sonde à celles des orbites de la Terre et Mars - tracer les orbites des trois corps (Terre, Mars, sonde) sous GeoGebra - devant les insuffisances de la trajectoire théorique, donner de la souplesse au modèle pour ajuster une meilleure orbite - faire quelques calcules sur la vitesse de la sonde et sur les dates de lancement L’Ellipse Lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante. Figure 2 - ellipse. F et F' sont les foyers de l'ellipse. PF + PF' = Cte On définit : a = OA = OA' : demi-grand axe b = OB = OB' : demi-petit axe c = OF = OF' On pose, c/a = e : excentricité ou ellipticité. a 2  b2  c2 c  ae b  a 1  e2 1 http://fr.wikipedia.org/wiki/MAVEN_(sonde_spatiale) 2 http://fr.wikipedia.org/wiki/Mars_Orbiter_Mission TD : Trajectoire sonde Terre Mars (PhM Obs.Lyon 2013/12/11 sonde_mars.wpd) Figure 3 - éléments de l’ellipse. 1/9 Seule la deuxième relation va nous être utile. On peut définir la position du point P en coordonnées cartésiennes x2 y2  1 a 2 b2 Mais en Astronomie, où le Soleil est à l’un des foyers de l’ellipse, on utilise les coordonnées polaires P Caractéristiques : a demi-grand axe c distance centre foyer r rayon vecteur  anomalie e = c/a excentricité r A’ A S a=OA=OA’ Termes astronomiques périhélie (A périgée) : aphélie (A’ apogée) :  O F’ SA’ = a + c = a ( 1 - e ) SA = a - c = a ( 1 + e ) c=OS Figure 4 - l’ellipse en coord.

polaires Les lois de Kepler M2 I - Les planètes décrivent autour du soleil des orbites elliptiques dont le soleil occupe un des foyers. M'1 M'2 M1 P' S a1  e  1  e  cos 2 r II - Une ligne joignant une planète au soleil balaye des aires égales en des temps égaux (loi des aires). Figure 5 - loi des aires. III - La période de rotation d'une planète et le demi grand axe de son orbite sont liés par la relation : 3 a3 G Ou a  C te    M M 1 2 P2 P 2 4 2 a3 Si la période P est exprimée en années sidérales et a en unités astronomiques (ua) 2  1   P Orbite de la sonde — Economie d’énergie (carburant) -> orbite képlérienne — Profiter de la vitesse de la Terre sur son orbite la sonde sera lancée tangentiellement à l’orbite de la Terre. — Éviter de changer de direction : trajectoire dictée par la gravitation — Faire coïncider l’arrivée de la sonde sur la trajectoire avec la position de la planète Partons d’un problème simple. Les excentricités des planètes sont faibles, leurs orbites sont assimilées à des cercles On place • • • • • le Soleil le cercle de la Terre le cercle de Mars l’ellipse de la sonde quelques points de repère H et F’ les foyers de l’ellipse, et C son centre. Les dimensions des cercles et ellipses : aT, aM, aS et cS. TD : Trajectoire sonde Terre Mars (PhM Obs.Lyon 2013/12/11 sonde_mars.wpd) Figure 6 - orbites et caractéristiques. 2/9 P Eléments de l’orbite de la sonde : Eléments de l’orbite de la sonde : aS  aT  a M 2 cS  a S  a T  a M  aT 2 eS  a S  aT aS Sa période orbitale vaut : aS 3  1 PS  a S3 PS2 (attention aux unités, ici aS est en ua, le résultats est en années) Il reste à placer la Terre et Mars à la date du lancement, car à ce moment là, la sonde et la sonde sont au point de tangence de l’orbite de la Terre et de l’ellipse. Figure 7 - longitudes à l’origine. La direction origine : le point vernal ou point . Les longitudes des planètes sont : lt0 et lm0 La direction du point  est la direction origine , l’ellipse est tournée de lt0. C’est ce que l’on va tracer sous GeoGebra. Pour commencer il nous faut quelques éléments à trouver dans la littérature ou sur Internet : - les demis-grands axes des orbites de la Terre et de Mars - les longitudes écliptiques de la Terre et Mars au jour du départ. On trouve les données des planètes : http://www.imcce.fr/langues/fr/grandpublic/systeme/promenade/pages3/ 376.html Caractéristiques des planètes Période Demi-grand axe Terre Mars 365.256 686.980 1 1.5236793 Figure 8 - orientation de l’ellipse. Sur le site de l’IMCCE, on peut faire calculer les positions qui nous intéressent du 1/10/2013 au 1/10/2015. http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php Ephémérides La page d’Ephémérides en ligne de l’IMCCE nous donne, à la demande, pour de nombreux corps leurs coordonnées dans tous les systèmes de repérage utilisés par les astronomes : local, équatorial, écliptique, coordonnées sphériques, coordonnées cartésiennes, etc. TD : Trajectoire sonde Terre Mars (PhM Obs.Lyon 2013/12/11 sonde_mars.wpd) 3/9 Les orbites de la Terre et Mars sous GeoGebra • Ouvrir GeoGebra et charger le fichier terre_mars_ephemerides.ggb Dans la partie tableur, on trouve tabulées journellement sur deux ans, les données suivantes : dates, longitudes, latitudes et distances de la Terre et Mars • Créer un curseur temps : tps (voir Créer un curseur dans les pages Les éléments de base de GeoGebra) Caractéristiques : 1 à 730, incrément 1, largeur 300 • Créer la valeur t0 = 49 pour ajuster la date de départ (19/11/2013) • Créer la liste dates des cellules A4 à A734 (voir Créer une liste dans les pages Les éléments de base de GeoGebra) • De même que pour les données dates du tableur créer les listes des longitudes de la Terre et de Mars sur la durée de leurs périodes respectives lterre de B4 à B369 lmars de E4 à E691 Figure 9 - affichage date. • Faire afficher la date correspondant à tps : Elément[ldates, tps] Figure 10 - curseur temps et date. Pour simplifier on considère des orbites circulaires. le problème, • Rentrer les données des planètes Orbite de la Terre Orbite de Mars aT aM PT PM Figure 11 - caractéristiques des orbites des planètes. Longitude de la Terre à la date de départ : lt_0=Elément[lterre,Dt0] • Placer le Soleil (point H) au centre, couleur jaune et grandeur 7. • H = (0,0) Tracer les orbites de la Terre et de Mars c_T = Cercle[ H,a_T] c_M = Cercle[ H,a_M] • Mettre en couleur : bleu pour la Terre, rouge pour Mars. Les planètes sont représentées sous forme de points T et M. Dans le plan xHy, qui est le plan de l’écliptique, les longitudes sont comptées à partir de Hx (direction du point gamma). • On place le point T dans GeoGebra par : T=(a_T ; Elément[ lterre, tps]°) (coordonnées polaires) De même pour Mars : M=(Elément[dmars, tps]; Elément[lmars, tps]°)  Sauvegarder le travail Figure 12 - la Terre et Mars dans la fenêtre graphique. TD : Trajectoire sonde Terre Mars (PhM Obs.Lyon 2013/12/11 sonde_mars.wpd) 4/9 L’orbite de la sonde • Les éléments de l’ellipse de la sonde sont : a_S = (a_T + a_M) / 2 P_S = sqrt(a_S^3)*365.25 c_S = a_S - a_T e_S = c_S / a_S C F’ H On construit l’ellipse de la sonde comme si la Terre avait la longitude 0.

On la fera tourner de lt0 après. La syntaxe de l’ellipse sous Geogebra est : Ellipse[ , , ] Figure 13 - construction de l’ellipse. Ici les foyers sont H et F’ H est à l’origine(0,0) F’ est à - 2 cS puisque CH = cS F’ = (-2*cS,0) Que l’on fait tourner de lt0 traj_S = rotation[ Ellipse[H, (-2*c_S,0),a_S],lt_0°] Tracer la ligne.... »