représentation paramétriques

« Chapitre 10 : Représentations paramétriques et équations cartésiennes I - Représentations paramétriques d’une droite Activité 1 : À l’affût sur une branche (au point A), un matrin-pêcheur a repéré un poisson (au point P).

Il s’élance vers sa proie selon une trajectoire que l’on modélise par la droite d. La situation est schématisée ci-contre : Dans un répère de l’espace, on donne A (1; 6; 4) et P (3; 12; − 2). 1) Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite d. 2) Une seconde après son envol, le martin-pêcheur se trouve au point B de coordonnées (2; 9; 1). a) Déterminer les coordonnées du vecteur AB. b) Justifier que l’oiseau se trouve sur la bonne trajectoire, c’est-à-dire sur la droite d. 3) À un instant de son vol, le martin-pêcheur se trouve en un point M de coordonnées (x; y; z) de la droite d. a) Que peut-on dire des vecteurs AM et AP ? b) Démontrer que M (x; y; z) appartient à la droite d si, et seulement si, il existe un nombre t réel tel que : x = 1 + 2t y = 6 + 6t. z = 4 − 6t On dit que ce système est une représentation paramétrique de la droite d. c) Pour quelle valeur de t, le martin-pêcheur atteint-il sa proie? 1) AP est un vecteur directeur de la droite d : AP (2; 6; − 6). 2) a) AB (1; 3; − 3). 1 AP donc AB et AP sont colinéaires et AB est donc aussi un 2 vecteur directeur de d.

Le martin-pêcheur est donc toujours sur la bonne b) AB = trajectoire. 1 sur 11 3) a) AM et AP sont des vecteurs colinéaires. b) D’après la question précédente, il existe donc un réel t tel que : AM AM = t AP ⟺ x − 1 = 2t y − 6 = 6t ⟺ z − 4 = − 6t x = 1 + 2t y = 6 + 6t z = 4 − 6t = t AP. c) Le martin-pêcheur atteint sa proie lorsque M et P sont confondus. x=3 y = 12 ⟺ z =−2 3 = 1 + 2t C’est-à-dire lorsque 12 = 6 + 6t ⟺ t = 1. −2 = 4 − 6t Le martin-pêcheur atteint sa proie à l’instant t = 1. Pour la suite des énoncés, on se placera dans un repère orthonormé (O; i ; j ; k ) de l’espace. Propriété 2 : Soit un point A (xA; yA; zA) appartenant à une droite d de vecteur u (a; b; c). M (x; y; z) appartient à la droite d si, et seulement si, il existe un x = xA + at réel t tel que : y = yA + bt . z = zA + ct directeur Démonstration 3 : M ∈ d ⟺ AM et u sont colinéaires ⟺ il existe un réel t tel que AM = t u . Or AM (x − xA; y − yA; z − zA).

Donc M ∈ d ⟺ il existe un réel t tel que x − xA = at x = xA + at y − yA = bt c’est-à-dire : y = yA + bt . z − zA = ct z = zA + ct 2 sur 11 Remarques 4 : • À chaque valeur de t correspond un point de d. • Les coefficients a, b et c du paramètre t sont les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite. • Il existe une infinité de représentations paramétriques d’une droite. Définition 5 : x = xA + at Le système d’équations y = yA + bt avec t variant dans ℝ est une z = zA + ct représentation paramétrique de la droite d. Méthodes 6 : • Pour déterminer une représentation paramétrique d’une droite (AB) : Le vecteur AB est un vecteur directeur de (AB), on détermine alors ses coordonnées puis on applique la définition du cours. • Pour déterminer si un point C appartient à la droite (AB) : On remplace x, y et z par les coordonnées de C.

Si le système admet une solution, alors C appartient à la droite.

Sinon, il n’appartient pas à la droite. Exercice-Exemple 7 : Dans un repère orthonormé (O; B (−1; 1; 4). i ; j ; k ), on donne les points A (1; − 3; 1) et 1) Donner une représentation paramétrique de la droite (AB). 2) Les points C (−3,5; 7) et D (2; 4; 2) appartiennent-ils à la droite (AB)? 1) AB (−2; 4; 3) donc une représentation paramétrique de (AB) est : x = − 2t + 1 y = 4t − 3 où t ∈ ℝ. z = 3t + 1 2) Pour C (−3; 5; 7), on a : −3 = − 2t + 1 t =2 soit t = 2. 5 = 4t − 3 { t =2 7 = 3t + 1 le système est compatible (c’est-à-dire qu’il admet une solution) donc le point C appartient à la droite (AB). 3 sur 11 Pour D (2; 4; 2), on a : 2 = − 2t + 1 4 = 4t − 3 soit 2 = 3t + 1 t =− t= t= 7 4 1 3 1 2 . le système n’est pas compatible donc le point D n’appartient pas à la droite (AB). Exercice-Exemple 8 : On considère la droite d de représentation paramétrique x =5−t y = − 1 + 3t z =1+t avec t ∈ ℝ. 1) Donner les coordonnées d’un point de d et celles d’un vecteur directeur d. 2) d est-elle parallèle à la droite d′ de représentation paramétrique : u de x = 6 + 2k y = 1 − 6k avec k ∈ ℝ ? z = − 5 − 2k 1) Un point de d a pour coordonnées (5; − 1; 1) : on l’obtient en remplaçant t par 0. Un vecteur directeur 2) u de d a pour coordonnées (−1; 3; 1). u (−1; 3; 1) est un vecteur directeur de la droite d et v (2; − 6; − 2) est un vecteur directeur de la droite d′.

On remarque que v = 2 u .

Comme u et v sont colinéaires, on en déduit que les droites d et d′ sont parallèles. 4 sur 11 II - Équations cartésiennes d’un plan Activité 9 : On considère le cube ABCDEFGH d’arête 1 représenté ci-contre.

On se place dans le repère (D; DA; DC; DH). 1) a) Déterminer les coordonnées des points A, B, F et G. b) Déterminer les coordonnées des vecteurs AB, BG et CF. c) Calculer chacun des produits scalaires CF .

AB et CF .

BG. d) Que peut-on en déduire pour la droite (CF ) et le plan (ABG)? 2) M désigne un point de coordonnées (x; y; z) appartenant au plan (ABG). a) Sans effectuer de calculs, déterminer le produit scalaire AM .

CF en justifiant votre résultat. b) Démontrer que M (x; y; z) appartient au plan (ABG) si et seulement si x + z − 1 = 0. On dit que cette équation est une équation cartésienne du plan (ABG). c) Le point N (9; − 20; 7) appartient-il au plan (ABG)? 1) a) A (1; 0; 0) , B (1; 1; 0) , F (1; 1; 1) et G (0; 1; 1). b) AB (0; 1; 0) , BG (−1; 0; 1) et CF (1; 0; 1) c) CF .

AB =1×0+0×1+1×0=0 CF .

BG = 1 × (−1).... »