Récurrence cours

« Analyse 1 Raisonnement par récurrence Ce que dit le programme : Contenus Capacités attendues Démonstrations Exemples d’algorithmes Approfondissements possibles Raisonner par récurrence pour établir une propriété d’une suite. Démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli. Avant de commencer ce chapitre, je dois savoir : Prérequis Utiliser le vocabulaire : proposition, implication, réciproque et équivalence Utiliser les connecteurs logiques et les quantificateurs Raisonner par déduction Utiliser un contre-exemple Raisonner par l’absurde Raisonner par contraposée Raisonner par disjonction de cas Livre p 18 et 19 p 20 p 21 p 22 p 23 p 24 p 25 Faire au moins les 6 exercices : 4p19 ; 7p20 ; 16p21 ; 21p22 ; 35p24 et 41p25 Page 1 sur 5 I.

Découverte Activité de découverte : Raisonnement par récurrence Après avoir pris connaissance de ces deux documents, explique en quelques phrases le principe du raisonnement par récurrence. Document 1 Document 2 https://www.youtube.com/watch?v=FF7TZgEBnt8&t=147s Page 2 sur 5 Le raisonnement par récurrence « le raisonnement mathématique par excellence » Henri Poincaré –La science et l’hypothèse (1902) Le raisonnement par récurrence a longtemps été utilisé intuitivement sans le nommer : EUCLIDE (vers -300), prouve l’existence d’une quantité arbitrairement grande de nombres premiers dans la proposition 20 du livre IX des Eléments. Cette proposition contient l’esquisse d’une récurrence non explicitée et l’idée d’une infinité de nombres premiers est absente. ARCHIMEDE (vers -250) encadre pi par un procédé récurrent. FIBONACCI (vers 1200) l’utilise pour définir sa fameuse suite, mais n’énonce pas les principes du raisonnement par récurrence. C'est dans le Traité du triangle arithmétique que Blaise PASCAL (1623-1662) fut le premier à énoncer clairement les principes du raisonnement par récurrence Ses correspondances permettent de dater la découverte en août 1654. On pourrait imaginer que les mathématiciens de l’époque se sont précipités sur cette découverte, mais l’essor de l’analyse, des probabilités et de la mécanique l’a occulté. Le raisonnement par récurrence ne sera reconnu qu’à partir de la seconde moitié du 18ème siècle, grâce à Leonard EULER qui l’utilise notamment dans sa démonstration du Petit théorème de Fermat. C’est seulement au 19ème siècle que la communauté mathématique considérera enfin le raisonnement par récurrence comme un outil indispensable, puis comme la base même de l’édifice des nombres. Page 3 sur 5 II.

Raisonnement par récurrence Comment faire pour grimper en haut d’une échelle ? Il suffit de remplir deux conditions : • Atteindre le premier barreau • Être.... »