Quelle est le principe du raisonnement par récurrence ? Pourquoi l’initialisation est-elle si importante ?

« Quelle est le principe du raisonnement par récurrence ? Pourquoi l’initialisation est-elle si importante ? Intro : Histoire de la récurrence : Tout d’abord, il faut savoir que le mathématicien italien, Leonardo Fibonacci utilise implicitement la récurrence avec la célèbre suite de Fibonacci.

Pourtant, c’est Blaise Pascal qui dans son livre apparu en 1665, utilise explicitement le raisonnement par récurrence.

En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous ou une partie des entiers naturels.

Elle est très souvent utilisée dans les suites.

Une démonstration par récurrence n’est utile que si une démonstration « classique » n’est pas possible. Quelle est le principe de la récurrence ? Pourquoi l'initialisation est-elle importante dans la récurrence ? Premièrement, nous verrons le principe du raisonnement par récurrence simple.

Deuxièmement, nous verrons deux exemples de la récurrence simple où l’on ne fait pas l’initialisation.

Troisièmement, nous verrons la puissance de la récurrence.

Finalement, nous verrons la récurrence forte et sa différence avec la récurrence simple. Développement : I) Principe raisonnement récurrence 3 étapes : _Initialisation : vérifier que la propriété soit vraie pour n0 _ Hérédité : vérifier si la propriété est vraie pour n+1en utilisant une hypothèse de récurrence _ Conclusion : si la propriété est vraie pour n=0 et qu’elle est héréditaire alors la propriété est vraie pour tout entier n. Imaginons une file illimitée de dominos placés côte à côte.

Lorsqu’un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file.

Alors, si le premier domino tombe, on est assuré que tous les dominos de la file tombent. Exemple : Soit (Un) la suite définie par U0=2 et Un+1=1/5*Un+4.

Démontrons que pour tout n≥0 on a Un≤5.

La propriété de la récurrence est Un≤5. Initialisation : On a U0≤5.

Or, U0=2 donc on a bien U0≤5.

Donc la propriété est vraie pour n=0.. »