Quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or

« Bonjour, je vais vous présenter le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or.

Leonardo Fibonacci était un mathématicien italien qui voyageait beaucoup et qui a écrit à la suite de ses voyages un livre appelé « liber abbaci » publié en 1202.

Dans ce livre, un problème est posé sur la reproduction des lapins qui est le suivant « combien de couples de lapins pouvons-nous obtenir à la fin d’une année si, en commençant au début du premier mois avec un seul couple, chacun des couples, après deux mois d’existence produit chaque début du mois suivant un nouveau couple.

» De nos jours la suite de Fibonacci peut être considéré comme le premier modèle mathématique en dynamique des populations.

Dans une première partie nous verrons comment va évoluer la suite de Fibonacci avec le problème des lapins, dans une seconde partie nous verrons comment la suite de Fibonacci se rapproche du nombre d’or et dans une troisième partie, nous verrons Le lien etree le nombre d’or et des exemples concrets. Lors de l’étude du problème des lapins, nous voulons savoir comment va évoluer la suite de Fibonacci.Pour le savoir, nous devons étudier l’évolution des lapins en prenant la problématique de Fibonacci énoncé précédemment.

En prenant compte que si vous commencez avec 1 couple et qu’ils mettent chacun 1 mois à grandir et à produire 1 autre couple chaque mois, il y a cependant des conditions qui s’impose : - Les lapins ne peuvent créer un autre couple qu’a deux mois d’existence - Chaque couple de plus de deux mois crée chaque mois un nouveau couple - Les lapins ne meurent jamais Nous aurons donc : - Lors du premier mois un jeune couple de lapins sont présent - Au 2e mois, le couple de lapins grandit mais ne créera un autre couple de lapins que lors du troisième mois. - Nous nous retrouvons donc au troisième mois où une nouvelle paire de lapins est née.

Nous nous retrouvons donc avec deux couples de lapins. - Lors du 4e mois, le couple de lapins de départ crée un autre couple de lapins tandis que le couple du mois précédent grandit - Durant le cinquième mois, le couple de départ crée un autre couple de lapins et le couple né le 3e mois crée son premier couple Cette suite continuera jusqu’au 12e mois.

Il faut tout de même rappeler que une suite est une succession de nombres réels appelés « termes » de la suite. Cette étude du problème nous donnera donc la séquence suivante: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 au bout de 12 mois on aura donc 144 lapins Dans cette suite, chaque nombre est la somme des 2 nombres précédents.

C’est la séquence de Fibonacci.

Par exemple 1+1=2 ; 2+1=3 ; 3+2=5 … On peut donc voir que la croissance de cette population de lapins augmente rapidement. On s’aperçoit donc que chaque termes de cette suite à partir du 3e correspond à la somme des deux précédents c’est à dire : U2= U1+U0 on peut alors poser la relation suivante : Un+2=Un+1+U0 Sur le programme que je vous ai écrit, on peut voir que Nous allons donc passer a la seconde partie. Qu’est-ce que le nombre d’or ? Le nombre d’or aussi connu sous le nom de « phi » est un concept mathématique qui a captivé l’attention des mathématiciens, des artistes, des penseurs, … depuis des siècles.Ce nombre d’or est un nombre irrationnel et possède des propriétés uniques et remarquables.

Le nombre d’or à une solution égale à 1+ racine de 5 sur 2.

cette solution est donc la valeur exacte du nombre d’or.

La valeur approchée du nombre d’or, elle est 1,618.

Le nombre d’or est une relation entre deux nombres qui se trouvent l’un à côté de l’autre dans la séquence de Fibonacci.

Quand on divise le plus grand nombre par le plus petit on obtient une réponse proche de phi donc proche du nombre d’or. On peut donc observer.... »