Quaternions: qu’est ce que c’est?
Publié le 09/05/2024
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QUATERNIONS
Les quaternions ont été inventés par le mathématicien irlandais Sir William Rowan
Hamilton au XIXe siècle.
Hamilton cherchait une extension des nombres complexes
pour représenter des rotations en trois dimensions de manière plus efficace que les
méthodes existantes.
il paraît que c’est En traversant le broom bridge un pont
situé en Irlande que Hamilton a eu l’idée des règles de multiplication pour ces
nouveaux objets mathématiques lorsqu’il se promenait avec sa femme.
il a alors
écrit la formule sur une pierre du pont.
Pour comprendre le principe des quaternions, on peut prendre l’exemple dans le cube
où toutes les faces sont différentes.
supposons que je décide d’appliquer une
première rotation à ce cube vers l’avant.
Ensuite, j’applique une seconde rotation
à ce cube vers la gauche.
On arrive donc à cette fois-ci maintenant si je repars de
la position initiale et que je décide d’appliquer les mêmes rotations, mais en
inversant l’ordre, c’est-à-dire d’abord de tourner à gauche, puis ensuite d’aller
vers l’avant, on se rend compte que je n’arrive pas sur la même face.
Et cela
s’explique car les rotations dans l’espace ne sont pas commutative.
Pour expliquer les quaternions il faut d’abord définir les nombres complexes ainsi:
Les nombres complexes sont des nombres constitués d'une partie réelle et d'une
partie imaginaire notés sous la forme a+ib ou a et b sont des nombres réels et i
est l’unité imaginaire (i^2=-1).
Ils étendent les nombres réels en ajoutant une
dimension imaginaire
et donc il existe en ensemble encore plus grand appelé, les quaternions
noté grand H on référence au mathématicien Hamilton qui a introduit cette notion.
Et donc de la même façon que les nombres complexes sont composé de deux parties.
Donc une partie réelle, une partie imaginaire les quaternions sont composés de 4
parties.
avec un composant réel et trois composants imaginaires souvent noté a+bi+cj+dk avec
a,b,c et d des nombres réels et i,j,k des unités imaginaires distinctes.
de la même façon que les complexes ont des propriétés algébriques intéressantes,
comme i^2=-1.
Et bien c’est la même chose avec les quaternions mais ça va encore
plus loin en effet i^2=j^2=k^2=ijk=-1.
donc la particularité des quater, non c’est qu’ils ne sont pas commutatif.
on le comprend grâce à ce tableau.
En effet, si on prend par exemple....
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