Probabilités : Un événement de probabilité infiniment faible peut il se réaliser ? GO

« Probabilités : Un événement de probabilité infiniment faible peut il se réaliser Introduction : ● Cette question philosophique a été illustrée par Borel en 1909 en prenant l’image d’un singe dactylographe.

Émile Borel est un mathématicien français, Il était spécialiste de la théorie des fonctions et des probabilités. ● Le Paradoxe du singe savant dit le singe dactylographe est un théorème selon lequel un singe qui tape indéfiniment et au hasard sur le clavier d’une machine à écrire pourra écrire tous les livres de la Bibliothèque nationale de France avec une probabilité égale à 1. ● Bien entendu, ces singes ne sont pas des singes réels, mais la métaphore d’une machine qui produirait des lettres dans un ordre aléatoire, comme un ordinateur. ● Nous nous efforcerons de comprendre ce propos à l’aide d’un calcul de probabilité. Un clavier comporte 50 touches.

On souhaite reconnaître le mot ALÉATOIRE. Partie 1.

Loi binomiale Mise en contexte des hypothèses : 1.

Les Principales caractéristiques d’une loi binomiale ● Une loi binomiale décrit le nombre de fois où le succès apparaît sur les “n” essais.

Le nombre de succès obtenus étant une valeur aléatoire, une loi binomiale est décrite grâce à la probabilité que le succès apparaisse précisément “k” fois sur les “n” essais. ● 2.

La problématique du singe savant peut-elle s’apparenter à une loi binomiale ? ● Oui car c’est une expérience à deux issues (Succès ou Échec), qu’on peut assimiler à un tirage de Bernoulli puisqu’on répète une même épreuves de manière identiques et indépendantes. - On frappe 9 lettres au hasard puis on observer si le mot ALÉATOIRE est écrit ; Le succès de reconnaître le mot ALÉATOIRE a pour probabilité (1/50)^9 soit 5.12e-16 soit 0.000000000000000512 ● L’expérience est répétée “n” fois. ● On considérera un modèle simplifié où l’on sépare les expériences par paquets de 9 lettres afin d’assurer l’indépendance. ● CEZHGBATUALÉATOIRE est accepté, ALÉATOIRETYDXWOPLM est accepté,mais CHALÉATOIRENTTSXWP est rejeté.

Donc le mot ALÉATOIRE n’est pas reconnu s’il est à cheval entre deux paquets de 9 lettres. ● Le nombre le succès X suit alors une loi binomiale de paramètres “n” et de probabilité (1/50)^9 . Caractéristiques : Pour calculer les caractéristiques, on calcule avec “X” Valant “k” : ● P(X = k) = (n/k)(1/50)^9k (1-(1/50)^9)n-k. »