Probabilités – Terminale S (cours)

b. Probabilités sur un ensemble fini Définition : Soit Ω = {a1, a2, …, an} un ensemble fini. on définit une loi de probabilité sur Ω si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que, pour tout i, 0  pi  1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai} et on note pi = p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai). pour tout événement E inclus dans Ω, on définit p(E) comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui définissent E. Propriétés Parties de E Vocabulaire des événements Propriété A A quelconque 0  p(A)  1 ∅ E Evénement impossible Evénement certain p(∅) = 0 p(E) = 1 A ∩ B = ∅ A et B sont incompatibles p( A ∪ B) = p(A) + p(B) A A est l’événement contraire de A p(A ) = 1 – p(A) A, B A et B quelconques p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p( A ∩ B) Exercice n°1 : On considère l’ensemble E des entiers de 20 à 40. On choisit l’un de ces nombres au hasard.
A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 »
B est l’événement : « le nombre est multiple de 2 »
C est l’événement : « le nombre est multiple de 6 ». Calculer p(A), p(B), p(C), p(A ∩ B), p(A ∪ B), p(A ∩ C) et p(A ∪ C). Définition : On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Calculs dans le cas d’équiprobabilité Dans une situation d’équiprobabilité, si Ω a n éléments et si E est un événement composé de m événements élémentaires : Ω = card card E E(p où card E et card ) Ω désignent respectivement le nombre d’éléments de E et de Ω. On le mémorise souvent en disant que c’est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Remarque : Les expressions suivantes « dé équilibré ou parfait », « boule tirée de l’urne au hasard », « boules indiscernables » … indiquent que, pour les expériences réalisées, le modèle associé est l’équiprobabilité . Probabilités – Terminale S 3 Exercice n°2 : avec un dé On lance deux fois de suite un dé équilibré. 1°) Représenter dans un tableau les 36 issues équi probables . 2°) Calculer la probabilité des événements : A : « on obtient un double » ; B : « on obtient 2 numéros consécutifs » C : « on obtient au moins un 6 » ; D : « la somme des numéros dépasse 7 ». Exercice n°3 : avec une pièce On lance 4 fois de suite une pièce équilibrée. 1°) Dresser la liste des issues équiprobables. 2°) Quel est l’événement le plus probable : A ou B ? A : « 2 piles et 2 faces » B : « 3 piles et 1 face ou 3 faces et 1 pile ». c. Variables aléatoires Exercice n°4 : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2 € pour chaque résultat « pile » et on perd 1 € pour chaque résultat « face ». 1°) Quel est l’ensemble E des issues possibles ? 2°) Soit X l’application de E dans  qui, à chaque issue, associe le gain correspondant. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un gain de 3 € » ? On note cette probabilité p(X = 3). On obtient une nouvelle loi de probabilité sur l’ensemble des gains E’ = X(E) = {-3 ;0 ;3 ;6 } ; nous la nommons loi de probabilité de X : Gain xi x1 = -3 x2 = 0 x3 = 3 x4 = 6 Probabilité pi = p(X = xi) 8 1 8 3 8 3 8 1 Définition : ▪ Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble E muni d’une probabilité P, à valeurs dans . ▪ X prend les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn définies par : pi = p(X = xi). ▪ L’affectation des pi aux xi permet de définir une nouvelle loi de probabilité. Cette loi notée PX, est appelée loi de probabilité de X. Remarque : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn. On appelle respectivement espérance mathématique de X, variance de X et écart-type de X , les nombres suivants : Probabilités – Terminale S 4 ▪ l’espérance mathématique est le nombre E(X) défini par : E(X) = ∑ i=1 n ( ) pi xi . ▪ la variance est le nombre V défini par : V(X) = ∑ i=1 n pi ( ) xi – E(X) 2 = ∑ i=1 n pi xi² – E(X)². ▪ l’écart - type est le nombre σ défini par : σ = V. Exercice n°5 : Un joueur lance un dé : si le numéro est un nombre premier, le joueur gagne une somme égale au nombre considéré (en euros) ; sinon il perd ce même nombre d’euros. 1°) Si X est le gain algébrique réalisé, donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique et son écart-type. 2°) Le jeu est-il favorable au joueur ? II. CONDITIONNEMENT a. Arbres pondérés Règles de construction La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est 1. La probabilité de l'événement correspondant à un trajet est le produit des probabilités des différentes branches composant ce trajet. Exemple On jette une pièce. ▪ Si on obtient pile, on tire une boule dans l’urne P contenant 1 boule blanche et 2 boules noires. ▪ Si on obtient face, on tire une boule dans l’urne F contenant 3 boules blanches et 2 boules noires. On peut représenter cette expérience par l'arbre pondéré ci-dessous : b. Probabilité conditionnelle Exercice n°6 : En fin de 1eS, chaque élève choisit une et une seule spécialité en terminale suivant les répartitions ci –dessous : 2/5 3/5 2/3 1/3 1/2 1/2 F B N B N P p(P∩B) = 1/6 p(P∩N) = 1/3 p(F∩B) = 3/10 p(F∩N) = 1/5 Probabilités – Terminale S 5 Par spécialité : Mathématique s Sciences Physiques SVT 40% 25% 35% Sexe de l’élève selon la spécialité : Sexe / Spécialité Mathématiques Sciences physiques SVT Fille 45% 24% 60% Garçon 55% 76% 40% On choisit un élève au hasard. 1°) Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire. 2°) a) Quelle est la probabilité de chacun des év énements suivants ? F : « l’élève est une fille », M : « l’élève est en spécialité maths ». b) Quelle est la probabilité que ce soit une fille ayant choisi spécialité mathématiques ? c) Sachant que cet élève a choisi spécialité mathématiques, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? On appelle probabilité de F sachant M cette probabilité (conditionnelle) et on la note pM(F) ou P(F/M) Quelle égalité faisant intervenir p(F ∩ M), p(F) et pM(F) peut-on écrire ? Comparer p(F) et pM(F) et en donner une interprétation. d) Sachant que cet élève a choisi spécialité SVT, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? e) Comparer pS(F) et p(F) , et en donner une interprétation. Définition : p désigne une probabilité sur un univers fini Ω. A et B étant deux événements de Ω, B étant de probabilité non nulle. ▪ On appelle probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que B est réalisé le réel noté ( ) ( ) p ( ) A P A B p A / B ∩ = . ▪ Le réel p(A /B) se note aussi pB(A) et se lit aussi probabilité de A sachant B. Remarque : Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles p(A/B) et p(B/A) sont toutes les deux définies et on a : p(A ∩ B) = p(A/B)p(B) = p(B/A)p(A). Exercice n°7 : Efficacité d’un test » Une maladie atteint 3% d’une population donnée. Un test de dépistage donne les résultats suivants :
Chez les individus malades, 95% des tests sont positifs et 5% négatifs.
Chez les individus non malades, 1% des tests sont positifs et 99% négatifs. On choisit un individu au hasard. 1°) Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire. 2°) Quelle est la probabilité a) qu’il soit malade et qu’il ait un test positif ? b) qu’il ne soit pas malade et qu’il ait un test négatif ? c) qu’il ait un test positif ? d) qu’il ait un test négatif ? 3°) Calculer la probabilité a) qu’il ne soit pas malade, sachant que le test est positif ? b) qu’il soit malade, sachant que le test est négatif ? 4°) Interpréter les résultats obtenus aux question s 3a et 3b. Probabilités – Terminale S 6 III. INDÉPENDANCE a. Événements indépendants Définition : A et B sont 2 événements de probabilité non nulle. ▪ A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre. ▪ A et B sont indépendants si et seulement si p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(A). Théorème : Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si ils vérifient une des trois conditions : p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(B) ou p( A ∩ B) = p(A)p(B). Démonstration : ▪ Par définition, les deux premières sont équivalentes ▪ si p(A/B) = p(A) comme p(A ∩ B) = p(A/B)p(B) alors p(A ∩ B) = p(A) p(B) ▪ si p(A∩B) = p(A)p(B), comme p(B) ≠ 0, ( ) p( ) B p A ∩B = p(A) c’est-à-dire pB(A) = p(A) Remarque : Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles. ▪ 2 événements A et B sont indépendants si p(A ∩ B)= p(A)p(B) ▪ 2 événements A et B sont incompatibles si A ∩ B= ∅. Exercice n°8 On extrait au hasard un jeton d’un sac contenant six jetons : trois rouges numérotés 1, 2 et 3, deux jaunes numérotés 1 et 2 , et un bleu numéroté 1. On désigne respectivement par R, U et D les événements : « le jeton est rouge », « le numéro est 1 » et « le numéro est 2 ». Les événements R et U sont-ils indépendants ? Et les événements R et D ? b) Indépendance de deux variables aléatoires Définition : X et Y sont deux variables définies sur l’univers Ω d’une expérience aléatoire ; X prend les valeurs x1, x2, …, xn et Y prend les valeurs y1, y2, …, yq. Définir la loi du couple (X, Y) c’est donner la probabilité pi,j de chaque événement [(X = xi) et (Y = yj)]. Remarque : Les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants si : p[(X = xi) et (Y = yj)] = p(X = xi) × p(Y = yj) Probabilités – Terminale S 7 Exercice n° 9 On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. L’ensemble Ω des issues est alors l’ensemble des 32 cartes et le fait de tirer au hasard implique que les événements élémentaires sont équiprobables. ▪ On définit sur Ω la variable aléatoire X qui, à chaque issue, associe 1 si cette issue est un valet, 2 si c’est une dame, 3 si c’est un roi, 4 si c’est un as et 0 si ce n’est pas l’une de ces figures. Les valeurs de X sont donc x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4. ▪ On définit sur Ω la variable aléatoire Y qui, à chaque issue, associe 1 si cette issue est un trèfle ou un carreau, 2 si c’est un cœur, 3 si c’est un pique. Les valeurs de Y sont y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3. 1°) Définir la loi du couple (X, Y).( on pourra dr esser un tableau à double entrée) 2°) Donner les lois de X et de Y. 3°) X et Y sont-elles indépendantes ? c) Probabilités totales Définition : Soient Ω un univers associé à une expérience aléatoire et n un entier  2. Les événements A1, A2, …, An forment une partition de Ω si les trois conditions suivantes sont réalisées : ▪ pour tout i ∈ {1 ; 2 ;… ; n}, Ai ≠ 0. ▪ pour tous i et j (avec i ≠ j) de {1 ;2 ;…n}, Ai ∩ Aj ≠ ∅. ▪ A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = E. Formule des probabilités totales Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω. Alors : p(B) = p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + … + p(B ∩ An) Ou p(B) = p (B) p(A ) p (B) p(A ) p (B) p(A ) A 1 A 2 A n 1 2 n × Κ + × + Κ + × . Démonstration : B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ … ∪ (B ∩ An), Les événements (B ∩ A1), (B ∩ A2), …, (B ∩ An) sont 2 à 2 incompatibles donc la probabilité de leur réunion est la somme de chacun d’entre eux , on en déduit : p(B) = p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + … + p(B ∩ An). et en utilisant que, pour tout i de {1 ; 2 ; … ; n}, p(B ∩ Ai)=pAi(B) × p(Ai), on obtient : p(B)= p (B) p(A ) p (B) p(A ) p (B) p(A ) A 1 A 2 A n 1 2 n × Κ + × +Κ + × Exercice n°10 : On dispose de deux urnes U1 et U2 indiscernables. U1 contient 4 boules rouges et trois boules vertes, U2 contient 2 boules rouges et 1 boule verte . On choisit une urne au hasard et on tire une boule de cette urne. Calculer la probabilité pour qu’elle soit rouge.