Probabilités conditionnelles
Publié le 10/10/2021
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«
Probabilités conditionnelles
L'essentiel du cours
Définition d'une probab ilité conditionnelle
Lecture d'un arbre
• On considère une expérience aléatoire et
deux événements A et B quelconques de proba -
bilités non nulles.
L'évé nement A est réalisé
puis l'événement B.
On peut visualiser la situa
tion en utilisant un arbre pondéré.
• La probab ilité de l'événement « 8 sachant
que l'événement A est réalisé », notée PA(B)
peut se calculer en utilisant un arbre.
En effet on
P(A nB) a: P(AnB) = P(A) x PA(B) donc PA(B) = ~ -
• Par ana logie, on en déduit que la probabilité
P(A ) A
S:,
LE COURS
À ÉCOUTER
~~
~M
P,(B) B P(A n 8)
1;:-8 P(A n 8)
~~
P(A n 8)
P;;.(B) B P(A n B)
de l'événement« A sachant que l'événement 8 est réalisé» , notée P8(A) sera :
P.
(A)= P(BnA).
8 P(B)
Propriétés
p (B) + p (B) = 1 .
P.
(A)= P(AnB) = P(A) x PA(B) .
A A ' B P(B) P(B)
Exemple
Dans une population lycéenne, 40 % des élèves aiment les mathématiques (si, c'est
poss ible !), 25 % aiment la physique et 10 % aiment à la fois les mathémat iques
et la phys ique.
On prend un élève au hasard .
Quelle est la probabilité pour qu'il
aime la physique, sachant qu'il aime les mathématiques?
Soit A l'événement« l'élève aime les mathémat iques» et 8 l'événement« l'élève
aime la phys ique».
L'énoncé donne P(A) = 0,4; P(B) = 0,25 et P(AnB) = 0,1.
On cherche la probabilité pour que l'élève aime la physique sachant
qu' il aime les mathématiques, c'est-à-d ire la probabilité de 8 sachant A :
p (B) = P(BnA) = 0,1 = 0 25_ A P(A) 0,4 '
Formule des probabi lités tota les
Cas d'une partition élémenta ire avec A et A.
Pour tout événement B, on a :
P(B) = P(A nB) + P(A nB) = PA(B) x P(A) + PA(B) x P(A)..
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