Probabilités conditionelle et variables aleatoires

« Probabilités conditionnelles et variables aléatoires Q1 : Rappels : Soit 𝐴 et 𝐵 deux événements d'un même univers Ω 1.

𝑃(∅) = 0 ( ∅ 𝑒𝑠𝑡 𝑙′é𝑣é𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒) 𝑃(𝛺) = 1 (𝛺 𝑒𝑠𝑡 𝑙′é𝑣é𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑎𝑖𝑛) 2.

𝑆𝑖 𝐴 ≠ ∅ 𝑒𝑡 𝐴 ≠ 𝛺 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 0 < 𝑃(𝐴) < 1 3.

𝑆𝑖 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) 4.

𝑆𝑖 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 5.

𝑃( 𝐴̅ ) = 1 − 𝑃(𝐴) 6.

𝑆𝑖 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 7.

Dans une situation d’équiprobabilité on a : | 𝐴 | 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑃(𝐴) = = |𝛺| 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 Q2 : Exercice 1 : On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.

Soit 𝐴 et 𝐵 deux événements. 𝐴 : « La carte tirée est un pique » 𝐵 : « La carte tirée est un roi » 1.

Décrire par une phrase l'événement 𝐴 ∩ 𝐵 2.

Calculer les probabilités des événements 𝐴 , 𝐵 et 𝐴 ∩ 𝐵 3.

Calculer la probabilité de l’événement : « la carte est un roi sachant qu'on a tiré un pique » 4.

Comparer le quotient de 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) par 𝑃(𝐴) et la réponse à la question précédente. Q3 : Exercice 2 : Un sac contient 50 boules dont 20 de couleur rouge et 30 de couleur noire. Exclusivement les mots « gagné » ou « perdu » sont marqués sur chacune des boules. 15 boules rouges sont marquées « gagné » et 21 boules noires sont marquées « perdu ». On tire au hasard une boule dans le sac.

Soit 𝑅 et 𝐺 les événements suivants : 𝑅 : « La boule tirée est rouge". 𝐺 : « La boule tirée est marquée gagné » 1.

Décrire par une phrase l'événement 𝑅 ∩ 𝐺 et calculer sa probabilité. 2.

Calculer la probabilité d’avoir une boule marquée gagné sachant qu'on a tiré une boule rouge. 3.

Comparer le quotient de 𝑃(𝑅 ∩ 𝐺) par 𝑃(𝑅) et la réponse à la question précédente. Q4 : Définition de la probabilité conditionnelle. Soit 𝐴 et 𝐵 deux événements d'un même univers Ω.

On suppose que 𝐴 est de probabilité non nulle. On appelle probabilité conditionnelle de 𝐵 sachant 𝐴 (ou sachant que 𝐴 est réalisé) le 𝑃(𝐴∩𝐵) nombre 𝑃𝐴 (𝐵) défini par : 𝑃𝐴 (𝐵) = 𝑃(𝐴) Q5 : Propriétés : Soit 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois événements avec 𝑃(𝐴) ≠ 0. 1.

0 ≤ 𝑃𝐴 (𝐵) ≤ 1 2.

𝑃𝐴 ( ̅̅𝐵̅̅ ) = 1 − 𝑃𝐴 (𝐵) 3.

𝑃𝐴 (𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃𝐴 (𝐵) + 𝑃𝐴 (𝐶) − 𝑃𝐴 (𝐵 ∩ 𝐶) Démonstration : Q6 : Exercice 3 : Formuler les données de Q3 par un arbre pondéré appelé arbre de probabilité. Q7 : Exercice 4 : 1.

Tracer un arbre pondéré et placer dessus les mots suivants : Un nœud, une branche, une feuille et un chemin. 2.

Quelles sont les propriétés d’un arbre de probabilité ? Q8 : Définition d'un système complet d'événements. 𝐴, 𝐵 et 𝐶 forme un système complet d’événements ssi 1.

𝐴 ≠ ∅ , 𝐵 ≠ ∅ et 𝐶 ≠ ∅ 2.

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ , 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ et 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅ 3.

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = Ω Exemple très utilisé : Si 𝐴 est un événement non nul, alors 𝐴 et 𝐴̅ est un système complet d'événements. 1 Q9 : Propriété très utilisée : La formule des probabilités totales. Si 𝐴, 𝐵 et 𝐶 est un système complet d'événements, alors pour tout événement 𝐺 on a : 𝑃(𝐺) = 𝑃(𝐴) × 𝑃𝐴 (𝐺) + 𝑃(𝐵) × 𝑃𝐵 (𝐺) + 𝑃(𝐶) × 𝑃𝐶 (𝐺) Démonstration Q10 : Exercice 5 : Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 2 % sont porteurs de la maladie.

On obtient les résultats suivants : • Si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas. • Si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. Soit les événements 𝑀: « Être porteur de la maladie » et 𝑇 : « Avoir un test positif ». 1.

Un animal est choisi au hasard.

Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 2.

Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu’il soit malade ? D'après BAC S, Antilles-Guyanne 2010 Q11 : Définition de l'indépendance de deux événements. Soit A et B deux événements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants ssi 𝑃(𝐴.... »