Première Exercices Chapitre 08 : Probabilités Conditionnelles

« Première Exercices Chapitre 08 : Probabilités Conditionnelles Objectifs : • Calculer des probabilités conditionnelles • Construire un arbre de probabilités conditionnelles • Utiliser la formule des probabilités composées pour calculer la probabilité d’une intersection • Utiliser la formule des probabilités totales • Calculer une probabilité conditionnelle "inversée" • Vérifier l’indépendance de deux évènements • Utiliser l’indépendance de deux évènements • Utiliser une loi binomiale Activité n◦ 1 Mathias a un paquet de Skittles, il compte : 6 fraises (F), 5 citrons(C), 8 citrons verts(V), 4 oranges (O) et 7 mûres(M), puis il en propose un à sa petite sœur Julie, qui pioche sans regarder dans le sachet.

Julie pioche un fraise. 1.

Quelle était la probabilité que Julie pioche un fraise ? 2.

Quelle est alors la probabilité que Mathias pioche à son tour un fraise ? 3.

Leur maman, qui préfère les citrons et les citrons verts, vient à son tour en piocher un.

Quelle est la probabilité qu’elle ait un de ses parfums favoris ? Calculer des probabilités conditionnelles Méthode : Il faut être capable d’utiliser avec précision la formule PB (A) = probabilité conditionnelle et la probabilité d’une intersection. P (A∩B) , P (B) mais il faut aussi bien comprendre la différence entre une exemple : Dans une classe de 35 élèves, il y a 19 filles, dont 7 participent au concert des lycées.

On choisit au hasard un élève de la classe.

Notons les évènements F : "L’élève est une fille" C : "L’élève participe au concert des lycées". 1.

Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit une fille qui participe au concert des lycées ? 2.

Sachant que l’élève choisi est une fille, quelle est la probabilité qu’elle participe au concert des lycées ? solution : 1.

P (F ∩ C) = 2.

PF (C) = 7 35 ; P (F ∩C) P (F ) = 7 35 19 35 = 7 19 remarque : Ici au lieu d’appliquer la formule scrupuleusement, on peut aussi compter "parmi les filles", les élèves qui "participent 7 . au concert", il y a bien 7 filles qui participent au concert, sur un total de 19 filles, on retoruve donc bien la probabilité 19 Exercice 1 : On considère 2 évènements A et B tels que P (A) = 0, 3, P (A ∩ B) = 0, 2 et P (B) = 0, 6 Calculer P (A ∪ B), PA (B) et PB (A). A1 Exercice 2 : On considère 2 évènements A1 et A2 dont les probabilités sont données dans le tableau ci-contre : A2 A2 Total 0, 7 A1 0,15 Total 0.8 1 1.

Compléter le tableau. 2.

En déduire PA1 (A2 ) et PA2 (A1 ). Exercice 3 : Deux évènements A et B vérifient P (A) = 0, 45, P (B) = 0, 6 et P (A ∪ B) = 0, 9. 1.

Calculer P (A ∩ B). 2.

En déduire PA (B) et PB (A). Construire un arbre de probabilités conditionnelles Méthode : L’arbre doit refléter exactement l’expérience aléatoire, en pensant à respecter le cas échéant la chronologie de cette expérience.

exemple : Construire pour chacune des situations suivantes un arbre pondéré qui représente l’expérience aléatoire : Situation 1 : On dispose de deux dés cubiques bien équilibrés : le dé A possède une face verte, deux faces noires et trois faces rouges, et le dé B possède quatre faces vertes et deux faces noires.

Le jeu se déroule de la manière suivante : On lance le dé B : • si la face obtenue est verte, on lance à nouveau le dé B et on note la couleur obtenue ; • si la face obtenue est noire, on lance le dé A et on note la couleur obtenue. Situation 2 : Pour étudier une population dans laquelle se propage une maladie contagieuse, les autorités sanitaires disposent des données suivantes : • un quart de la population est vacciné contre la maladie ; • 92 % des individus vaccinés ne sont pas malades ; • 19 % des individus non vaccinés sont malades. 4/6 4/6 V2 0,08 V1 2/6 N2 0,92 Situation 2 : Situation 1 : 1/6 2/6 V2 0,19 0,75 N1 M V 0,25 M M V N2 2/6 0,81 M 3/6 R remarque : Dans la situation 2, on aurait pu commencer avec les évènements M et M au premier niveau de l’arbre, et avec V et V au deuxième, mais les probabilités fournies dans l’énoncé n’auraient pas pu être placées. Utiliser la formule des probabilités composées pour calculer la probabilité d’une intersection, Utiliser la formule des probabilités totales, Calculer une probabilité conditionnelle "inversée" Méthode : exemple : Afin d’équiper les élèves des groupes socolaires de la commune, une municipalité achète auprès d’un grossiste des stylos-billes de trois marques différentes A, B et C. • 40 % des stylos commandés sont de la marque A, la moins chère, et parmi ces stylos 15 % sont défectueux. • 35 % des stylos commandés sont de la marque B, et 10 % des ces stylos sont défectueux. • Le reste des stylos sont de marque C, et 5 % de ces stylos sont défecteux. On choisit au hasard un stylo dans le stock de la municipalité : 1.

Calculer la probabilité que ce soit un stylo défectueux de la marque B. 2.

Calculer la probabilité que le stylo soit en bon état de fonctionnement. 0,15 3.

Le stylo choisi est en bon état de fonctionnement, calculer la probabilité qu’il soit de marque C. D A 0,40 solution : 1.

Attention !...

Ici on ne cherche pas PB (D) mais P (D ∩ B), on cherche la probabilité que le stylo soit défectueux ET de la marque B.

Ce genre de question peut prêter à confusion quand le mot "ET" ou les mots "SACHANT QUE" ne sont pas clairement employés dans la question. P (B ∩ D) = 0, 1 × 0, 35 = 0, 035. 3,5 % des stylos commandés sont défectueux et de la marque B. 0,10 0,35 0,90 0,05 0,25 3.

Dans cette question, on cherche une probabilité conditionnelle (attention ce n’est pas complètement évident, les mots "SACHANT QUE" sont sous-entendus), mais elle n’est pas présente dans l’arbre, on revient donc à la formule. P (D ∩ C) 0, 25 × 0, 95 ≃ 0, 27. PD (C) = = 0, 8925 p(D) 0,95 D 0, 7 B C 0, 2 B D D C A 0, 7 0, 6 B 1.

Compléter l’arbre. 2.

Donner P (A ∩ B), P (A ∩ B), P (A ∩ B), P (A ∩ B). D D D Exercice 5 : On considère 2 évènements C et D dont les probabilités sont données dans l’arbre suivant : A 0, 9 D C B 0, 45 D B 2.

Dans cette question, on cherche la probabilité d’un évènement qui est au deuxième niveau de l’arbre, on utilise la formule des probabilités totales, on a : P (D) = P (A ∩ D) + P (B ∩ D) + P (C ∩ D) = 0, 4 × 0, 85 + 0, 35 × 0, 9 + 0, 25 × 0, 95 = 0, 8925 Exercice 4 : On considère 2 évènements A et B dont les probabilités sont données dans l’arbre suivant : 0,85 D 1.

Compléter l’arbre. 2.

Donner P (C ∩ D), P (C ∩ D), P (C ∩ D), P (C ∩ D). 3.

Calculer P (D). Exercice 6 : On considère 2 évènements G et H dont les probabilités sont données dans l’arbre suivant : H 2 7 G 1.

Compléter ce tableau. H 3 5 1 3 2.

Calculer les probabilités conditionnelles PS (K) et PS (K). 3.

Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré. H Exercice 12 : Dans une forêt, il y a 30% d’épicéas et le reste sont des sapins.

10% des arbres ont un parasite.

Les épicéas représentent 20% des arbres touchés. Quelle est la probabilité qu’un épicéa soit touché par le parasite ? G H 1.

Quelles sont les probabilités données ? 2.

Compléter l’arbre. 3.

Calculer P (H). Exercice 7 : On considère 3 évènements A, B et C qui forment une partition de l’univers.

On considère également un évènement E tel que P (C ∩ E) = 0, 15, PA (E) = 0, 2, P (A) = 0, 7 et P (B ∩ E) = 0, 31. Calculer P (E). Exercice 8 : On demande à 180 élèves s’ils étaient demipensionnaires ou internes ainsi que la langue vivante étudiée hormis l’anglais (espagnol ou allemand).

On choisit un élève au hasard. On note A l’évènement "l’élève apprend l’allemand", E l’évènement "l’élève apprend l’espagnol" et I l’évènement "l’élève est interne" et DP l’évènement "l’élève est demi-pensionnaire". A 1.

Compléter le tableau suivant : 2. DP I Total E Total 100 50 40 180 (a) Calculer P (A) et P (A ∩ I). (b) En déduire PI (A) et interpréter le résultat par une phrase..... »