Paradoxe des anniversaire Grand Oral

« Comment démontrer le paradoxe des anniversaires grâce aux probabilités et au dénombrement ? Introduction : Quand j’étais en école primaire, on était une tradition pour chaque anniversaire : chanter une chanson.

Cependant, je me souviens qu'il arrivais de temps en temps que deux personnes soient nées le même jour.

Au début, je pensais que c'était une coïncidence rarissime, un événement très peu probable et presque impossible. Mais un jour, j'ai découvert le paradoxe dit « des anniversaires ». D'après des calculs de probabilités, il semblerait que dans un groupe de 23 personnes, il y ait plus de 50% de chances que deux personnes soient nées le même jour.

Je me suis donc demandé : comment est-il possible de démontrer le paradoxe des anniversaires grâce aux probabilités et au dénombrement? Le paradoxe des anniversaires, également connu sous le nom de "problème des anniversaires", est un problème de probabilité surprenant.

En effet, le mathématicien Richard Von Mises s'est demandé : quelle est la probabilité qu'au moins deux personnes dans un même groupe aient la même date d'anniversaire ? La réponse est contre-intuitive car la plupart des gens pourraient penser qu'avec 365 jours dans une année, la probabilité serait très faible.

Cependant, cela serait vrai seulement si nous cherchions une personne née le même jour que nous-même, par exemple. Annonce du plan : Pour démontrer ce problème, je vais d'abord vous présenter le calcul.

Ensuite, nous allons calculer la probabilité que deux personnes soient nées le même jour dans différents groupes en utilisant la probabilité inverse et le dénombrement . I – Présentation du calcul : A – Les deux événements : Pour effectuer ce calcul, je vais utiliser deux événements.

Définir un événement en probabilité revient à définir un ensemble de résultats possibles dans le cadre d'une expérience aléatoire.

Je pose donc l’événement A, qui est « deux personnes ont le même anniversaire », et l’événement Â, « aucune personne n’a le même anniversaire ». Lorsque je parle de date d’anniversaire, je parle du jour et du mois mais pas de l’année.

Donc, p(A) est la probabilité qu’il y ait au moins un anniversaire en commun dans le groupe, et p(Â) est la probabilité qu’il n’y ait aucun anniversaire en commun dans le groupe. B – Événements complémentaires : Deux événements sont complémentaires lorsque leur union forme l’ensemble complet des résultats possibles.

C’est-à-dire que soit A se produit, soit  se produit, mais les deux ne peuvent pas se produire simultanément.

De plus, la probabilité qu’un des deux événements se produise est égale à 1.

Les deux événements créés précédemment sont donc complémentaires.

Sachant que les deux événements sont complémentaires, je peux donc en déduire que p(A) + p(Â) = 1. II- Les calculs A- Calcul pour un groupe de 3 personnes : Pour calculer la probabilité de l’événement A, je suis obligé de calculer d’abord la probabilité de Â.

Pour calculer p(Â), qui est la probabilité que personne n'ait le même jour d'anniversaire, il faut tout d’abord comprendre le calcul.

Sachant qu’il y a 365 jours dans une année (le calcul ne prend pas en compte les années bissextiles), alors il y a 365 dates d'anniversaire possibles.

Pour faciliter la compréhension, je vais dans un premier temps vous présenter le calcul pour un groupe de trois personnes. Pour la première personne, il n'y a aucune restriction, donc sa probabilité d'avoir un anniversaire différent de toutes les autres personnes est de 1 (ou 100 %).

Pour la deuxième personne, il y a 364 jours possibles pour son anniversaire (365 moins le jour de l'anniversaire de la première personne).

Donc, sa probabilité d'avoir un anniversaire différent de la première personne est de 364/365. Pour la troisième personne, il y a 363 jours possibles pour son anniversaire (365 moins le jour de l'anniversaire de la première personne et le jour de l'anniversaire.... »