Mouvement dans un champ uniforme

« Mouvement dans un champ uniforme I Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme 1) Vecteur accélération On étudie le mouvement du centre de masse G d’un projectile, étudié dans le référentiel terrestre galiléen. On considère que le champ de pesanteur 𝑔⃗ est uniforme.

On néglige toute autre force que le poids 𝑃⃗⃗ . En appliquant la deuxième loi de Newton (∑ 𝐹⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗), on obtient 𝑃⃗⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗ et donc 𝑚 × 𝑔⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗ , finalement on a 𝑎⃗ = 𝑔⃗ L’accélération est donc constante et dirigée vers le bas. 2) Equations horaires du mouvement Le projectile est lancé depuis le point O dans le plan (Oxy) avec une vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑣0 𝑔⃗ Dans le repère (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗), les vecteurs 𝑔⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 s’expriment sous la forme : 𝑉 = 𝑉0 × cos (𝛼) ⃗⃗⃗⃗ 𝑉0 { 0𝑥 𝑉0𝑥 = 𝑉0 × sin (𝛼) 𝑔 =0 𝑔⃗ {𝑔 𝑥= −𝑔 𝑦 Remarque : Attention au signe négatif 𝑑𝑣𝑥 𝑎𝑥 = 𝑎 =0 𝑑𝑡 Puisque 𝑎⃗ = 𝑔⃗ on peut écrire 𝑎⃗ {𝑎 𝑥= −𝑔 et on sait que 𝑎⃗ { 𝑑𝑣 𝑦 𝑦 𝑎𝑥𝑦 = 𝑑𝑡 𝑉𝑥 = 𝐶1 Par intégration on en déduit les coordonnées de 𝑣⃗ {𝑉 = −𝑔 × 𝑡 + 𝐶 𝑦 2 Déterminons les constantes d’intégration 𝐶1 et 𝐶2 à l’aide des conditions initiales. A l’instant t = 0, ⃗⃗⃗⃗ 𝑉0 { Enfin on écrit 𝑣⃗ { 𝑉0𝑥 𝑉0𝑥 = 𝑉0 × cos(𝛼) = 𝐶1 on en déduit 𝐶1 = 𝑉0 × cos(𝛼) et 𝐶2 = 𝑉0 × 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = 𝑉0 × sin(𝛼) = −𝑔 × 0 + 𝐶2 𝑉𝑥 = 𝑉0 × cos(𝛼) 𝑉𝑦 = −𝑔 × 𝑡 + 𝑉0 × sin (𝛼) La composante horizontale de la vitesse 𝑉𝑥 est constante, la composante verticale 𝑉𝑦 est une fonction affine du temps. A.V 1/5. »