Mouvement dans un champ uniforme
Publié le 23/05/2022
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Mouvement dans un champ uniforme
I Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
1) Vecteur accélération
On étudie le mouvement du centre de masse G d’un projectile, étudié dans le référentiel terrestre galiléen.
On considère que le champ de pesanteur 𝑔⃗ est uniforme.
On néglige toute autre force que le poids 𝑃⃗⃗ .
En appliquant la deuxième loi de Newton (∑ 𝐹⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗), on obtient 𝑃⃗⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗ et donc 𝑚 × 𝑔⃗ = 𝑚 × 𝑎⃗ ,
finalement on a
𝑎⃗ = 𝑔⃗
L’accélération est donc constante et dirigée vers le bas.
2) Equations horaires du mouvement
Le projectile est lancé depuis le point O dans le plan (Oxy) avec une vitesse ⃗⃗⃗⃗⃗.
𝑣0
𝑔⃗
Dans le repère (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗), les vecteurs 𝑔⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣0 s’expriment sous la forme :
𝑉 = 𝑉0 × cos (𝛼)
⃗⃗⃗⃗
𝑉0 { 0𝑥
𝑉0𝑥 = 𝑉0 × sin (𝛼)
𝑔 =0
𝑔⃗ {𝑔 𝑥= −𝑔
𝑦
Remarque : Attention au signe négatif
𝑑𝑣𝑥
𝑎𝑥 =
𝑎 =0
𝑑𝑡
Puisque 𝑎⃗ = 𝑔⃗ on peut écrire 𝑎⃗ {𝑎 𝑥= −𝑔 et on sait que 𝑎⃗ {
𝑑𝑣
𝑦
𝑦
𝑎𝑥𝑦 =
𝑑𝑡
𝑉𝑥 = 𝐶1
Par intégration on en déduit les coordonnées de 𝑣⃗ {𝑉 = −𝑔 × 𝑡 + 𝐶
𝑦
2
Déterminons les constantes d’intégration 𝐶1 et 𝐶2 à l’aide des conditions initiales.
A l’instant t = 0, ⃗⃗⃗⃗
𝑉0 {
Enfin on écrit 𝑣⃗ {
𝑉0𝑥
𝑉0𝑥 = 𝑉0 × cos(𝛼) = 𝐶1
on en déduit 𝐶1 = 𝑉0 × cos(𝛼) et 𝐶2 = 𝑉0 × 𝑠𝑖𝑛(𝛼)
= 𝑉0 × sin(𝛼) = −𝑔 × 0 + 𝐶2
𝑉𝑥 = 𝑉0 × cos(𝛼)
𝑉𝑦 = −𝑔 × 𝑡 + 𝑉0 × sin (𝛼)
La composante horizontale de la vitesse 𝑉𝑥 est constante, la composante verticale 𝑉𝑦 est une fonction affine
du temps.
A.V
1/5.
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