Maths suite

« Chapitre 2 :raisonnement par r ´ ecurrence .limite d 'une suite 18octobre 2017 Contrôle de mathématiques Mercredi 18 octobre 2017 Exercice 1 ROC (3 points) Démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli : a> 0, n N, (1 +a)n 1+ na . En déduire alors que la suite ( qn ), avec q> 1, diverge vers + E xercice 2 Limites de suites dénies explicitement (4 points) Déterminer et rédiger soigneusement les limites des suites (u n) suivantes : 1) u n = 2 n2 3n + 2 1 n 2) n 2, u n = n + ( 1) n n 2 1 3) u n = 3 n n + 1 1 2 n 4) u n = 5n 4n E xercice 3 Suite arithmético-géométrique (4 points) Soit la suite ( u n) dénie sur Npar : u 0 = 2 et pour tout n N, u n+ 1 = 1 2u n + 3. 1) Montrer par récurrence que : n N, u n 6 2) En déduire que la suite ( u n) est croissante. 3) Montrer que la suite ( u n) est convergente vers ℓ. 4) Déterminer la limite ℓ. E xercice 4 Suite auxiliaire (3,5 points) On pose u 1 = 1 2 et pour tout nnon nul u n+ 1 = n + 1 2n u n. 1) Calculer u 2, u 3, u 4 2) On pose v n = u n n pour nnon nul. a) Montrer que ( v n) est une suite géométrique de raison 1 2. b) Exprimer v n puis u n en fonction de navec nnon nul. c) On admet que lim n + 2 n n = + , en déduire la limite ℓde la suite ( u n). paul milan 1 terminale s. »