Maths Expert Nombres Complexes

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Expertes - 2020-2021 DEVOIR SURVEILLE 01 CORRECTION Page 1 1 Exercice 1 : (6 points) 1. a) Cf.

livre p.11, exercice résolu 1.

b) Cf.

livre p.11, exercice résolu 3.

c) Cf.

livre p.11, exercice résolu 2.

2. a)   4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 2 1 (2 ) 4 (2 ) 6 (2 ) 4 (2 ) 1 (2 ) z i z i z i z i z i z i                 4 3 2 8 24 32 16 z i z z i z      .

b)   5 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5 2 1 1 (2 ) (-1) 5 (2 ) (-1) 10 (2 ) (-1) 10 (2 ) (-1) 5 (2 ) (-1) 1 (2 ) (-1) z z z z z z z                    5 4 3 2 32 80 80 40 10 1 z z z z z       .

Exercice 2 : (9 points) 1. 3 1 2 4 3 2z i i i z     3 2 4 3 1 2z i z i i       (3 )(3 2 ) (3 2 )(3 2 ) i i z i i       (3 2 ) 3 i z i     2 9 2 i( 6 3) 9 4 z i        3 3 2 i z i     7 9 13 13 z i    L’ensemble de solution est 7 9 13 13 S i         .

2. 2 3 ' 7 ' 4 3 z z i z z i           2 ( ' 4 3 ) 3 ' 7 ' 4 3 z i z i z z i             ' 3 ' 4 3 z i z z i          5 ' 8 6 7 ' 4 3 z i i z z i            ' 3 3 4 3 z i z i i           5 ' 15 5 ' 4 3 z i z z i          ' 3 1 2 z i z i          L’ensemble de solution est     1 2 ; 3 S i i     .

3. a)         2 3 2 2 3 2 2 2 4 2 4 2 4 8 2 1 4 1 8 ( ) z i z z z z z i z i z i z i z i z i P z                .

Conclusion : pour tout z  ,     2 ( ) 2 2 4P z z i z z     .

b) ( ) 0P z      2 2 2 4 0 z i z z        2 0 z i    ou   2 2 4 0 z z    Or :    2 0 2 z i z i     2 2 4 0 z z    : 2 2 4 ( 2) 4 1 4 4 16 12 b ac             0   , donc l’équation 2 2 4 0 z z    admet 2 solutions complexes et conjuguées : 1 2 12 2 2 3 1 3 2 2 2 b i i i z i a            et 2 1 1 3 z z i    L’ensemble de solution de l’équation ( ) 0P z  est   2 ; 1 3 ; 1 3 S i i i    .. »