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« Dhaouadi Nejib http://www.sigmaths.co.cc Page : 1 Continuité et limites I.

Rappels 1.

Continuité Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit a I Î f continue en a si et seulement si si et seulement sisi et seulement si si et seulement si f est continue à droite et à gauche en a Exemples Soit f la fonction définie sur ℝ par : 2 5 4 si 1 1 1 3 x x f ( x ) x x f ( )  - + = ¹  -   = -  Montrons que f est continue en 1.

2 1 1 1 1 1 5 4 1 4 4 3 1 1 3 1 donc est continue en 1 x x x x x x x ( x )( x ) lim f ( x ) lim lim lim( x ) x x lim f ( x ) f ( ) f ® ® ® ® ® - + - - = = = - = - - - = - = Soit f la fonction définie par : [ [ 2 2 si 0 1 si 0 2 7 si 2 sin x f ( x ) x x f ( x ) x x , f ( x ) x x  = <   = - Î  = + ³   Etudions la continuité de f en 0 et 2.

· Etude de la continuité en 0 Définitions (Rappels) · Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit a I Î f continue en a si et seulement si x alim f ( x ) f ( a )® = · Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ [ 0 a, a ( ) + a a > f est continue à droite en a si et seulement si x alim f ( x ) f ( a ) + ® = · Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] ] 0 a , a ( ) - a a > f est continue à gauche en a si et seulement si x alim f ( x ) f ( a ) - ® = Pour étudier la continuité d’une fonction f en un point a il faut que f soit définie en a, à droite de a et à gauche de a. »