Mathématiques: Vocabulaire des probabilités et rappels -

« - Vocabulaire des probabilités et rappels - Il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. 1/9 1.3 Loi binomiale 2/9 Conditionnement et indépendance Dans tout ce chapitre, on considère une expérience aléatoire d'univers Ω .

(l'ensemble de toutes les issues possibles), et P désigne une loi de probabilité sur Ω . 1) Probabilité conditionnelle : Définition 1 : Soit A et B deux événements de l'univers Ω , avec P ( A) ≠ 0 . On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est réalisé. On la note PA ( B ) et est définie par : PA ( B ) = P ( A ∩B ) P ( A) , qui se lit « probabilité de B sachant A ». Exemple n°1 : On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit A l'événement "La carte est un pique". Soit B l'événement "La carte est un roi". Déterminons PA ( B ) avec la définition précédente.

Que vaut PA ( B ) ? Remarque : Les probabilités conditionnelles vérifient les même propriétés que les probabilités habituelles, et notamment : 0⩽P A ( B )⩽1 PA ( B )+ P A ( B )=1 et de plus P ( A∩B )=P ( A) ×PA ( B ) Exemple n°2 : Un sac contient 50 billes, dont 20 billes Rouges et 30 billes Noires, où il est marqué soit "Gagné" soit "Perdu".

Sur 15 billes Rouges, il est marqué Gagné.

Sur 9 billes Noires, il est marqué Gagné. On tire au hasard une bille dans le sac. Soit R l'événement "On tire une bille Rouge". Soit G l'événement "On tire une bille marquée Gagné". Déterminons PR ( G ) à l'aide d'un tableau à double entrée. 3/9 Utilisation d'un arbre de probabilités : Exemple n°3 : Avec un arbre de probabilité. Dans un lycée 54 % des élèves sont des filles, dont 72 % sont externes. De plus, 76 % des garçons sont externes. Représentons la situation par un arbre pondéré, identifions PF ( E ) et PF ( E ) puis calculons P ( E ) . 4/9 Propriété 1 : Formule des probabilités totales Soit A1 , A2 ,…,An une partition de l'univers Ω (ensembles deux à deux incompatibles et dont l'union forme Ω ). Alors pour tout événement B , on a : P ( B )=P ( A1∩B )+ P ( A2 ∩B )+ …+ P ( An ∩B ) . 5/9 Exercice : Calculer la probabilité d'un événement associé à plusieurs feuilles d'un arbre. Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 2 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : – si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; – si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour toute la population et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note respectivement M et T les événements « Être porteur de la maladie » et « Avoir un test positif ». 1) Un animal est choisi au hasard.

Quelle est la probabilité que son test soit positif ? 2) Si le test du bovin est positif, quelle est la probabilité qu'il soit malade ? 1) On dresse l'arbre de probabilité correspondant. La probabilité que le test soit positif est associé aux feuilles M∩T et M∩T . P ( T )=P ( M∩T ) + P ( M∩T ) (probabilités totales) donc P ( T.... »