Math: Récurrence ; Sommes, produits

« Récurrence ; Sommes, produits ECE3 Lycée Carnot27 septembre 2011 Pour ce troisième chapitre, un peu de théorie, puisque celui-ci va nous permettre de dénir quelques notations et méthodes supplémentaires qui nous seront bien utiles par la suite (ou peut- être devrais-je dire plutôt pour les suites, puisqu'il s'agit du premier thème faisant intervenir de façon assez intensive le symbole somme et les récurrences). 1 Démonstration par récurrence La démonstration par récurrence est un schéma de démonstration que nous utiliserons extrême- ment souvent cette année, et qu'il est donc essentiel de maîtriser parfaitement.

Réaliser une bonne récurrence n'est pas très compliqué si on se force à bien en respecter la structure, la rigueur est donc de mise pour ne pas dire de bêtise ! Proposition 1.

Principe de récurrence : On cherche à prouver simultanément un ensemble de propriétés P n dépendant d'un entier naturel n.

On procède de la manière suivante, en respectant ces étapes qui devront être apparentes dans la rédaction de notre récurrence : Énoncé clair et précis des propriétés P n et du fait qu'on va réaliser une récurrence.  Initialisation : on vérie que P 0 est vraie (habituellement un calcul très simple).  Hérédité : on suppose P n vraie pour un entier nquelconque (c'est l'hypothèse de récurrence) et on prouve P n+1 à l'aide de cette hypothèse (si on n'utilise pas l'hypothèse de récurrence, c'est qu'on n'avait pas besoin de faire une récurrence !).  Conclusion : En invoquant le principe de récurrence, on peut armer avoir démontré P n pour tout entier n. Exemple : On considère la suite numérique dénie de la façon suivante : u 0 = 4 et8n 2 N, u n+1 = 1 u n 2+ 2 .

On souhaite prouver que cette suite est minorée par 2, c'est-à-dire que 8n 2 N, u n > 2.

Nous allons pour cela, bien évidemment, procéder par récurrence :  Énoncé : Nous allons prouver par récurrence la propriété P n : u n > 2.  Initialisation :u 0 = 4 >2, donc la propriété P 0 est vériée.  Hérédité : Supposons désormais P n vraie, c-est-à-dire que u n > 2, et essayons de prouver que u n+1 > 2.

C'est en fait assez simple en partant de l'hypothèse de récurrence : u n > 2) u n 2> 0) 1 u n 2> 0) 1 u n 2+ 2 >2) u n+1 > 2.  Conclusion : D'après le principe de récurrence, la propriété P n est vrai pour tout entier n. Remarque 1.

Variations du principe de récurrence : Le monde mathématique n'étant pas parfait, une récurrence classique n'est hélas pas toujours susante pour montrer certaines propriétés.

Il faut donc être capable de modier légèrement la structure dans certains cas : 1. »