math : Faut t-il compter sur le hasard

« Est-il raisonnable de compter sur le hasard ? Intro: Tout le monde a déjà connu au moins une situation de hasard où souvent l'on compte sur la chance pour s'en sortir.

C'est pour cela que j'en suis venu à me poser cette question : est-il raisonnable de compter sur le hasard ? Pour répondre à celle-ci, je vais tout d'abord prendre pour exemple un QCM et par la suite je prendrais pour exemple le jeu du loto. 1ere partie : Commençons donc avec un QCM composé de 10 questions ayant chacune 4 possibilités de réponse mais seulement une seule de correcte.

Cette situation correspond à une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Elle peut être représentée par schéma de Bernoulli comme le schéma entouré en jaune sur l’annexe Celui-ci nous montre qu'il y a 2^10, soit 1024 chemins possibles différents.

On peut donc dire que chaque question a deux issues : si elle est juste c'est un succès et si elle est fausse c'est un échec.

Cela nous permet alors d'appliquer la loi binomiale étant de paramètres n et p et se note P(x=k) =(n^k) x p^k x (1-p)^n-k comme inscrite et surlignée en bleu sur l'annexe.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès.

On écrit la loi binomiale comme représentée sur l'annexe et surlignée en violet.

Cela se lit X est la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.

Ici n correspond au nombre de questions soit 10 et p à la probabilité du succès soit 1/4.

La variable aléatoire X dans celle-ci va compter le nombre de réponses correctes.

Nous allons tout d'abord calculer la probabilité d'avoir 5 questions de correctes, soit la moitié.

Pour cela nous reprenons la loi binomiale avec X = 5. Nous avons donc 6% de chance d'avoir la moitié des réponses justes lors d'un QCM à 10 questions.

En suivant la même méthode, la probabilité d'avoir au moins la moitié des réponses correctes, soit X>5.

Pour aller plus rapidement il y a une fonctionnalité sur la calculatrice qui permet d’obtenir ce résultat.

Nous obtenons 0,08.

Cela signifie qu’en répondant totalement au hasard, nous avons 8% de chance d'avoir entre 5 et 10 questions correctes sur les 10.

Si l'on reprend ce principe lors de même genre de QCM, plus le QCM aura de questions, plus les chances d'obtenir ce type de probabilités vont faiblir. 2eme partie : Poursuivons maintenant avec le 2nd exemple : celui du loto.

En effet, celui-ci est un jeu national créé en 1975.

Il fait partie de la Française des jeux.

Le tirage du loto a lieu deux fois par semaine : le mercredi et le samedi.

Une grille de loto est. »