math

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Etude de fonction

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Étude d'une fonction trigonométrique
1. Domaine de définition
f (x ) = sin (2x ) + sin (3x ).
Le domaine de définition de f est D f = R
2. Parité et périodicité
f (-x ) = sin(-2x ) + sin(-3x ) = - sin(2x ) - sin(3x ) = - f (x ) : la fonction est impaire.
En ce qui concerne la périodicité, un petit rappel peut être utile :
(a) Cas d'une fonction sinusoïdale isolée, par exemple f (x ) = sin(x /3) = sin( 1 · x ).
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On cherche le plus petit p tel que f (x + p ) = sin((x + p )/3) = sin(x /3 + 2?), car la période du sinus est de
x +p
2?. Par comparaison, on a 3 = x + 2? <=> 1 p = 2? <=> p = 21? = 6?.
3
3
3

Plus généralement, la période de sin(ax ) est de

2?
a

.

(b) Cas d'une somme : f (x ) = sin(x /3) + sin(x /5).
2?
2?
Chacun des termes est périodique, le premier de période 1/3 = 6? et le second, de période 1/5 = 10?. L'un
et l'autre terme retrouvent ensemble les mêmes valeurs après une période égale au plus petit multiple
commun des deux périodes : dans notre cas, c'est 30?.

(c) Cas d'un produit : f (x ) = si n (x /3) · sin(x /5).On transforme le produit en somme à l'aide d'une identité
trigonométrique
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