limite.

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limite. n.f. MATHÉMATIQUES : nombre approchant une fonction au voisinage d'un point.
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de u. Soit a un nombre réel. On
suppose que a appartient à I, ou que a est une extrémité de I. On dit que f admet la limite 0
au point a si, pour tout nombre réel strictement positif p, il existe un nombre réel strictement
positif h tel que, pour tout point x de I, la relation | x - a | £ h implique la relation | f (x) | £ p.
Soit l un nombre réel. On dit que f admet la limite l au point a si la fonction f - l admet la
limite 0 en ce point. On dit aussi que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a. On formalise cette
notion à l'aide des quantificateurs :
(np > 0) (àh > 0) (nx m I)
| x - a | £ h h | f (x) - l | £ p
Un tel nombre l est unique. On note :

Si a appartient à I, le nombre l est nécessairement égal à f(a). Voir continue.

Limites en + ¥ et en - ¥ :
supposons maintenant que l'intervalle I n'est pas majoré. On dit que f admet la limite 0 en
+ ¥ si, pour tout nombre réel strictement positif p, il existe un nombre réel c tel que, pour
tout élément x de I, la relation x >= c implique | f (x) | £ p. On définit de même les fonctions
admettant une limite l en + ¥ . Le cas de - ¥ est analogue. Pour plus de précisions dans le
cas des suites, c'est-à-dire des fonctions n ® u (n) lorsque n tend vers l'infini, voir suite.

Limites infinies :
on dit que f admet la limite + ¥ au point a si, pour tout nombre réel b, il existe un nombre
réel strictement positif h tel que la relation | x - a | £ h implique que f(x) >= b. On définit de
même les fonctions admettant la limite - ¥ en a et les fonctions admettant une limite en
+ ¥ (ou en - ¥ ). Voir achevée (droite numérique).

Opérations sur les limites.
Si f et g admettent des limites l et m au point a, alors f + g et fg admettent des limites en
ce point. Plus précisément :

Si g ne s'annule pas sur I et si m ¹ 0, alors :

On peut aussi énoncer un résultat analogue pour la composée de fonctions admettant des
limites.

Formes indéterminées :
il est cependant des cas où les théorèmes précédents ne permettent pas de conclure. Par
exemple, si f admet pour limite + ¥ et si g admet pour limite - ¥ , la somme f + g peut
admettre une limite finie, une limite infinie ou encore ne pas admettre de limite. On dit
parfois que f + g se présente sous la forme indéterminée « + ¥ - ¥ »
De même, si f admet pour limite + ¥ et si g admet pour limite 0, tout peut se produire
pour le produit fg. On dit alors que fg se présente sous la forme indéterminée « 0 × ¥ ».
L'étude des limites dans de telles situations s'effectue généralement à l'aide des
développements limités.