Les suites géométriques

« Les suites géométriques L'essentiel du cours Définition d'une suite géométrique • Une suite est dite géométri que lorsque l'on peut déduire chaque terme du précédent en le multiplia nt par un réel consta nt.

Elle est donc géométr ique s'il existe une consta nte q telle que , pour tou t entier naturel n, un., = un" q.

La const ante réelle q est appelée la raison de la suite.

• Pour démontrer qu'une suite (u.) est géo métri que, on montre que, pour tout entier natu rel n, un., =u n" q où q est une constante indépe ndante den.

u • On évi tera de calculer le rappor t__!!!_!_ , qui n'existe pas si l'un des termes de la suite est nul.

un • Pou r démontrer qu'une suite n'est pas géo métrique, il suffi t d'un contre • exemp le : en généra l, le calcul des trois premiers termes de la sui te suffit.

Terme général d'une suite géométrique Si le premier terme d'une suite géométri que (u.) est u0 et sa raison q, alors le ter me généra l de cette suite est un= u0 " qn pou r tout entier naturel n.

Exemple Soit ne N.

La vale ur acqu ise c.

au bout de n périodes par un cap ital C0 placé au taux pér iodique de t % à intérêt s com posés est le terme général d'une suite géomé trique de premier ter me C0 et de raison (1 + _t_)_ On a : en= (1 + _t_Jn C0 pour tout enti er natu rel n.

lOO 100 Somme des termes d'une suite géométrique • Pour une suite géométriq ue (u.) de raiso n, la somme des premiers termes est le prod uit du prem ier terme par le quotie nt de 1-qnomb redemme s par 1-q : l -qn•l u0 + u0 "q + ...

+ u0" q" = u0 x --- (so mme den+ 1 termes) .

1-q • Si la raison q est égale à 1 (q = 1), la suit e (u.) est sta tionna ire et la somme des prem iers termes est alor s le produ it du prem ier ter me par le nombre de term es, soit : l/O + l/O X 1 + ...

+ l/O X 1 n : (n + 1) X l/O .

Exercices résolus Exercice 1 Parmi ces suites laquelle est géométr ique ? a) (u.) telle que un= 2n pour tout entier natu rel n.

b) (v.) telle que vn = n2 pour tout entie r natu rel n.

c) (w.) telle que wn = 2 x n pour tout entie r natu rel n.. »