Les suites arithmétiques

« Les suites arithmétiques L'essentiel du cours Monotonie d'une suite • Une suite (u.) est croissante lorsque, pour tout entier naturel n, on au •• ,;;,, u •.

• De façon analogue, une suite (u.) est décroissante lorsque, pour tout entie r naturel n, on a u.,1 ,;;; u •.

• Si un.,= u" pour tout entier naturel n.

on dit que la suite (u.) est stationna ire.

• Dans tous les cas, on étudie le signe de la différence u •• , -u •.

• Si la suite est définie par son terme général un= f(n), le sens de variation de la suite (u.) est le même que le sens de var iation de la fonction! sur l'ensemble des réels positifs : -si la fonct ion! est cro issante sur [o; +oo[, alors la suite (u.) est croissante; -si la fonction! est décroissante sur [o; + oo[, alors la suite (u) est décroissante ; -si la fonction/ est constante sur [o; + oo[, alors la suite (u.) est stationnaire.

Défin1t1on d'une suite o 1thmetique • Une suite est dite arithmétique lorsque l'on peut déduire chaque terme du précédent en lui ajoutant une constante.

Elle est donc arithmétique s'il existe un réel a tel que, pour tout ent ier naturel n, u •• , = u.

+ a.

La constante réelle a est appelée la raison de la suite.

• Pour démont rer qu'une suite (u.) est arith métique, on montre que , pour tout entier naturel n, la différence u ..

, -u.

est constante, c'est-à-dire que la différence ne dépend pas den .

• Pour démontrer qu'une suite n'est pas arithmét ique , il suffit d'un contre· t::i\t::1111,1lt::.

t::11 yé11érdl, lt:: lrui> 1,111::11,it::r> lt::rr nt::> dt:: Id )Uilt:: >Uffil.

Terme generol d'urie suite or1thmét1que • Si le prem ier terme d'une suite arithmétique (u.) est u0 et sa raison r, alors le terme général de cette suite est: un= u0 + n x r pour tout entier naturel n.

Exemples • La suite (u ) de terme général u = sn + 3 est une suite arithmétique de raisons.

• Soit ne N.

La valeur acquise C.

au bout den périodes par un capital C0 placé au taux pér iod ique de t % à intérêts simples est le terme général d'une suite arithmétique de prem ier terme C0 et de raison C0 x t.

On a : Cn = C0 + C0 x t x n, pour tout entier naturel n.

Somme des termes d'une suite or1thmet1que Pour une suite arithmétique (u), la somme des premiers ter mes est égale au produit du nombre de termes par la demi-somm e du premier et du dernier terme.

u0 + u, + u2 + ...

+ u.

= (n + 1{ uo : un ) (somme den + 1 termes).. »