Les probabilités, une pièce a conviction efficiente dans des procès criminels ?

« 00000000000000000000000000000000000000000000000Les probabilités, une pièce a conviction efficiente dans des procès criminels ? Les mathématiques ont-elles leur place au tribunal ? On songe à la question.

Ne s’agit-il pas plutôt de concilier conviction (terme juridique à définir) et persuasion par un amas de preuves accablantes et un discours poignant ? Je crois fermement que les nombres n’ont pas fini de nous surprendre.

Et je suis ici pour vous convaincre.

J’ai d’ailleurs choisi ce sujet pour sa pertinence avec mon projet professionnel ainsi que la curiosité qu’il a suscitée chez moi.

Mais là n'est pas là question.

Car pour l’instant, il me faut répondre à celle-ci : Les probabilités sontelles une preuve efficiente dans des procès criminels ? Pour cela, je débuterai par la présentation du théorème de Bayes, l’homme qui a permis aux mathématiques d’enfiler leur cape de justicier.

Puis j’aborderais une critique de l’utilisation des probabilités dans les tribunaux à travers un cas concret. Tout d’abord, c’est par un long cheminement trouvant son origine dans des définition de la probabilités conditionnelles que Thomas Bayes en est arrivé à cette formule que vous pouvez observer sur la feuille juste devant vous : À titre d’exemple, imaginons deux urnes remplies de boules.

La première contient dix (10) boules noires et trente (30) blanches ; la seconde en a vingt (20) de chaque.

On tire sans préférence particulière une des urnes au hasard et dans cette urne, on tire une boule au hasard.

La boule est blanche.

Quelle est la probabilité qu'on ait tiré cette boule dans la première urne sachant qu'elle est blanche ? Intuitivement, on comprend bien qu'il est plus probable que cette boule provienne de la première urne, que de la seconde.

Donc, cette probabilité devrait être supérieure à 50 %.

La réponse exacte (60 %) peut se calculer à partir du théorème de Bayes. Soit H1 l’hypothèse « On tire dans la première urne.

» et H2 l’hypothèse « On tire dans la seconde urne.

».

Comme on tire sans préférence particulière, P(H1) = P(H2) ; de plus, comme on a certainement tiré dans une des deux urnes, la somme des deux probabilités vaut 1 : chacune vaut 50 %. Notons D l’information donnée « On tire une boule blanche.

» Comme on tire une boule au hasard dans une des urnes, la probabilité de D sachant l'hypothèse H1 réalisée vaut : PH1(D)=30/40=75% De même la probabilité de D sachant l'hypothèse H2 réalisée vaut : PH2(D)=20/40=50% La formule de Bayes dans le cas discret nous donne donc : PD(H1)=(P(H1)*Ph1(D))/P(H1)*PH1(D)+P(H2*PH2(D) =50*75/50*75+50*50 =60% Avec : P(D)=P(H1)*PH1(D)+P(H2)*PH2(D) Avant que l’on regarde la couleur de la boule, la probabilité d’avoir choisi la première urne est une probabilité a priori, P(H1) soit 50 %.

Après avoir regardé la boule, on révise notre jugement et on considère P(H1|D), soit 60 %, ce qui confirme notre intuition première.

utilisons maintenant ce théorème dans un cas concret, celui de l’affaire Clark. En 1996, Sally et Steve CLARK perdent leur premier enfant, Christopher, né quelques semaines plus tôt.

Alors que ce premier événement laisse penser à un cas de mort subite du nourrisson, l’autopsie de leur second enfant décédé 13 mois plus tard relève des signes de maltraitance, faisant peser le doute sur la culpabilité de la mère.

Un procès est donc intenté contre la jeune avocate britannique pour le double meurtre de ses enfants, tandis que les témoignages dépeignent le portrait d’une mère aimante et dévouée.

Pendant le procès, la cour fait appel au très médiatique Roy Meadow, pédiatre et expert judiciaire des procès d’infanticides présumés.

Celui-ci présente alors a la cour les statistiques qu’il a réalisées.

Pour la famille clark, en bonne santé, avec des revenus confortables et stables, la probabilité qu’ils soient touchés par un cas de mort subite du nourrisson est de 1/8543.

Les Clark ayant perdu leurs deux enfants, meadow utilise la formule des probabilités indépendantes pour élever ce chiffre au carré, l’amenant ainsi non plus a 1/8543 mais 1/73 millions.

En d’autres termes, cela reviendrait a dire qu’il n’y aurait qu’un cas de double mort subite du nourrisson dans une même famille tous les 100 ans en Angleterre. Cependant, une étude du programme CONI (Care of Next Infant, une organisation d’aide pour les parents ayant perdu un enfant) a révélé qu’entre 1989 et 1997 et sur un échantillon de 6608 enfants, 29 familles ont été touchées par la maladie, 26 familles ont eu a vivre deux fois la mort subite du nourrisson et 3 familles l’ont vécu 3 fois.

Ainsi, Meadow contredit la méthode de recensement utilisée par le programme CONI et préfère vanter les mérites d’un autre rapport, celui de l’organisation du CESDI SUDI.

Dans cette étude, une statistique est très importante pour l’affaire : la probabilité qu’une mort subite du nourrisson arrive dans une famille choisie au hasard (donc ne correspondant pas forcément aux caractéristiques de la famille Clark) est de 1/1300.

Encore une fois, si l’on reproduit le calcul initial de meadow et que l’on porte ce nombre au carré, la probabilité de 2 MSN dans une même famille est alors de 1/1,7 millions, soit une fois tous les deux ans.

L’écart est très important entre les deux résultats, cependant la cour de justice retiendra plus tard dans le procès uniquement la probabilité de 1/73 millions.

Dans le rapport du CESDI, 3 facteurs qui peuvent potentiellement augmenter le risque de MSN dans une famille sont mis en lumière : un parent au chômage, une mère de moins de 26 ans et une personne fumeuse dans la famille.

D’autres facteurs, peut-être même génétiques existent probablement et démontrent donc que la msn ne survient pas par hasard, et la mort des deux enfants des clark ne sont donc sans doute pas indépendants.

Ainsi, élever au carré la probabilité de 1/8543 avait tout d’une grossière erreur mathématique, car les deux événements ne sont clairement pas indépendants l’un de l’autre.

en effet, pour que leur premier enfant succombe à une msn quelques semaines après sa naissance, il y avait sûrement des prédispositions dans la famille clark.

De plus, des études statistiques ont démontré que la msn est 5 a 10 fois plus risquée dans une famille en ayant déjà été victime.

De ce fait, le décès de Christopher à considérablement fait augmenter la probabilité qu’il y ait chez les clark un terreau propice a la msn, le risque que le second enfant décède de la même manière était donc plus élevé. Nous pouvons donc nous demander quel était alors le bon calcul a faire pour calculer la réelle probabilité qu’une telle tragédie arrive deux fois de suite dans la même famille.

Contrairement à la supposition de meadow, les deux événements n’étaient donc clairement pas indépendants, il faut donc utiliser la formule des probabilités conditionnelles pour calculer la réelle probabilité de cet événement. Ainsi, on admet deux événements : E1 étant la probabilité que l’ainé soit emporté par msn et E2 la probabilité que le second enfant soit emporté par la msn.

La formule à utiliser est donc la suivante, présente sur le support devant vous : P(E1 inter E2)=P(E1)*PE1(E2).

Autrement dit, la probabilité que les deux enfants meurent naturellement est égale au produit de la probabilité de la mort du premier et de la probabilité que le second meure sachant que le premier est mort.

aussi, on sait que la probabilité d’une deuxième msn dans une famille est 10 fois plus élevée que la première, PE1(E2)=10*P(E1)=10*1/1300=1/130.

Pour calculer la probabilité d’une double msn dans une même famille, on multiplie donc les deux données que nous avons entre elles, ce qui nous donne 1/169000. Cette probabilité est fort éloignée de celle proposée par Meadow, pourtant ce sera cette dernière qui sera retenue lors du procès et qui contribuera à l’incarcération de Sally Clark. Il est fort probable que la culpabilité de Sally prononcé lors de son procès ne relève que d’une mauvaise interprétation du chiffre qui a été donnés aux les jurés, ceux-ci l’ayant pris comme la probabilité que Sally Clark soit innocente.

La probabilité retenue étant de 1/73000000, et si les jurés ont interprété cette donnée comme la probabilité de l’innocence de Mme Clark, il est aisé de soupçonner la culpabilité de cette dernière.

Cependant, ce n’est pas le bon raisonnement, les jurés n’ayant pas toutes les cartes mathématiques en main pour interpréter correctement ces statistiques.

En effet, prenons l’exemple de madame X, grande gagnante d’une tombola.

Si l’on suit ce raisonnement, elle avait une chance sur 73 millions de remporter le lot, donc une chance sur 73 millions de ne pas tricher.

Si l’on réfléchissait ainsi pour les tombolas, tous les gagnants seraient automatiquement considérés comme des tricheurs et le jeu n’aurait plus grand intérêt.

Le raisonnement est le même pour cette affaire, les statistiques d=ne concernant pas la probabilité de son innocence mais la probabilité qu’un tel événement arrive.

Ainsi, pour tenter de détruire l’argumentation de l’accusation présentée aux jurés, il suffit de calculer P(M2 inter I), M2 correspondant à l’événement « deux nourrissons sont décédés dans une famille » et.... »