Les origines mathématiques de l’harmonie musicale

« Les origines mathématiques de l’harmonie musicale I.

Introduction La légende raconte que le mathématicien grec Pythagore, passant près d’une forge, entendit différents marteaux émettre des sons différents en frappant la même enclume.

Certaines combinaisons de sons étaient harmonieuses, d’autres moins.

Intrigué, Pythagore examina les marteaux et se rendit compte que deux sons étaient harmonieux lorsque les masses des deux marteaux étaient dans un rapport simple de nombres entiers.

Ce mathématicien et philosophe a été convaincu tout au long de sa vie que la Nature était intégralement régie par des rapports de nombres. La perception simultanée de plusieurs notes peut donner l’impression que les notes « sonnent bien ensemble » (notes consonantes) ou qu’elles ne « sonnent pas ensemble » (notes dissonantes).

En fait notre oreille est sensible au rapport des fréquences de deux notes. ! Définition : En acoustique, on appelle intervalle entre deux sons de fréquences respectives 𝑓* et 𝑓% le rapport !" . # ( attention ! ce terme prête à confusion : Le mot « intervalle » n’a pas le même sens ici que dans l’étude de l’ensemble R des nombres réels.

En musique, un intervalle est un nombre réel strictement positif) Exemple : L’oreille humaine entend les sons dont les fréquences sont comprises entre 20 Hz et 20000 Hz. Quel est l’intervalle perçu par l’oreille humaine ? ! Réponse : !" = # %&&&& %& = 1000 Depuis l’Antiquité, on considère comme particulièrement harmonieux deux sons dont les fréquences ! % 𝑓* et 𝑓% vérifient 𝑓% = 2𝑓* ou encore " = .

Ils correspondent en musique à une même note, à deux hauteurs différentes. !# * Définition : Lorsque l’intervalle entre deux sons est égal à 2, on l’appelle une octave. Par exemple : La3 ( fréquence 440 Hz) et La4 ( fréquence 880 Hz) , ...

La4 et La3 sont séparées d’une octave. Deux notes à l’octave jouées simultanément semblent n’en faire qu’une. Plus généralement, on parlera d’harmonie entre deux notes lorsque le rapport de leur fréquence est « simple » : un entier naturel ou une fraction « simple » d’entiers naturels. En termes de fréquences, une octave est donc la donnée de deux fréquences dont l’une est le double de l’autre : 𝑓 et 2𝑓 ; on retrouve la notion classique d’intervalle si on note cette octave : [𝑓; 2𝑓[ ! L’octave suivante est alors [2𝑓; 4𝑓[, puis [4𝑓; 8𝑓[, … tandis que l’octave précédente est [% ; 𝑓 [, puis ! ! [2 ; % [, .

.. Définition : Une Gamme est une suite finie de notes, réparties sur une octave L’octave est l’intervalle fondamental qui délimite la gamme.

C’est l’intervalle qui existe entre le 1er et Do dans l’énumération Do Ré Mi Fa Sol La Si Do ème le 2 La musique occidentale repose sur la notion de gammes, qui définissent les sons que l'on peut employer dans son écriture, puis sur les agencements de ces sons pour construire un assemblage agréable. II. Gammes de Pythagore L’objectif pour nous va être de construire des gammes de « Pythagore ».

Nous allons diviser une octave en une suite de notes séparées par des intervalles consonants. Dans l’Antiquité, les seuls nombres connus étaient les nombres rationnels, rapports de deux nombres entiers, et les gammes jusqu’au XVIIe étaient construites sur ces rapports. Nous allons partir de la note do, de fréquence 𝑓 ( la fréquence de do3 est 𝑓 = 261,63 Hz) Les notes de fréquences 2𝑓 (correspondant au do4 à l’octave supérieure, plus aigu),mais aussi 3𝑓, 4𝑓, 5𝑓 … sont consonantes car leurs fréquences sont dans des rapports simples avec la fréquence fondamentale 𝑓. Mais ces fréquences ne sont pas dans l’intervalle [𝑓; 2𝑓], qui est l’octave. Puisque les notes de fréquence « double » sont consonantes, car elles correspondent à une même note à deux hauteurs différentes, celles de fréquence « moitié » le sont aussi.

( autrement dit les notes de ! fréquence %# et 𝑓* sont consonantes).

Nous allons donc ramener ces notes dans l’octave inférieure en divisant les fréquences obtenues par 2, autant de fois que nécessaire.

Ainsi la note de fréquence 3𝑓, qui est 8 dans l’octave supérieure, n’est pas un do.

Donc la note de fréquence % 𝑓 est une nouvelle note de la gamme (elle correspond à la note sol3). 8 Définition : Une quinte est un intervalle entre deux notes de valeur . % Plus généralement, on dit que la note de fréquence 𝑓% est la quinte de la note de fréquence 𝑓* lorsque !" 8 =% ! # Pour définir une nouvelle note, on prend la quinte de la note précédente, et lorsque la fréquence 𝑓′ obtenue n’appartient pas à [𝑓; 2𝑓], on la divise par 2 autant de fois que nécessaire pour que le résultat appartienne à [𝑓; 2𝑓]. Les gammes de Pythagore sont basées sur ces intervalles de « Quinte » ; en Occident, ces gammes ont été très utilisées jusqu’au XVIIe siècle. Exercice 1 : Construction d’une gamme 8 8 8! • 𝑓& = 𝑓 et 𝑓* = % × 𝑓 = % 𝑓 forment une quinte donc on ajoute la note % (dans l’octave [𝑓; 2𝑓[) ; • 8 8 8 = = = 𝑓 et % × % 𝑓 = 2 𝑓 forment une quinte, mais 2 > 2 donc 2 𝑓 n’est pas dans l’octave [𝑓; 2𝑓[ ; la fréquence correspondant à la même note dans l’octave [𝑓; 2𝑓[ est la fréquence moitié : % = 2 * 8" 𝑓 × % = %? 𝑓 =, on ajoute cette note dans l’octave [𝑓, 2𝑓[ ; 1.

Compléter le tableau suivant en continuant le calcul des quintes, toujours dans l’octave [𝑓; 2𝑓[: fréquence 𝑓 3 𝑓 2 intervalle 3% 𝑓 28 38 27 𝑓= 𝑓 2 2 16 1 1,5 1,125 1,6875 32 81 𝑓= 𝑓 B 2 64 1.265625 3C 243 = 𝑓 2D 128 1.8984375 3B 729 𝑓= 𝑓 = 2 512 1.423828125 3D 2187 = 𝑓 ** 2 2048 1.06787109375 2.

Toutes ces notes ont été normalisées pour se situer dans la même octave, et toutes ces notes vont bien ensemble puisqu'elles respectent l'écart de quinte si naturel.

Mais où s’arrête-t-on ? On constatera une fois le tableau rempli qu’au bout de 5 quintes, on arrive à une fréquence assez proche de l’octave (2𝑓) et, au bout de 7 quintes, à une fréquence assez proche de la note initiale (𝑓). b.

Justifier que toutes les fréquences des notes sont de la forme 𝟑 8F %G 𝑓, 𝑛 et 𝑝 entiers naturels. On passe d’une quinte à la suivante en multipliant par 𝟐 et éventuellement en divisant par 2 ( 𝟑 donc en multipliant par 𝟐𝟐 ) c.

On obtiendrait un ensemble fini de notes si l’une de ces fréquences était égale à 𝑓, et donc s’il existait des entiers 𝑛 et 𝑝 tels que et 𝑝 sont non nuls. 8F %G = 1.

Expliquer pourquoi cette égalité est absurde lorsque 𝑛 3L = 1 ⟺ 3L = 2M 2M Or 3L est un entier impair tandis que 2M est pair … : c’est impossible ! Cette spirale des quintes ne reboucle donc jamais. Si on pousse jusqu’à 12 quintes, on arrive à l’intervalle : 8#" ≈.... »