Les matrices

« rHISTOIRE DES MATRICES Si l'on remonte très loin dans le temps, on retrouve les carrés magiques des civilisations arabes et chinoises qui sont une approche des matrices.

Cependant, les premiers travaux traitant de ce sujet sont ceux du mathématicien allemand Leibniz , datant de la fin du xvi' siècle, alors qu'il travaille sur la résolution de W!�縀縀䰀㨀 systèmes d'équations.

Ses travaux solutions à un système.

Puis Laplace , Lagrange , Gauss et Cauchy, le premier à introduire les tableaux en 1815, s'intéresseront au problème à leur tour, chacun l'investiguant d'un point de vue différent.

La notion de matrice à proprement parler date de 1858: le concept a été mis au point par les mathématiciens anglais Sylvester et Cayley, et le terme introduit par Sylvester en 1850 pour désigner un tableau rectangulaire de nombres.

Les matrices constituent un outil mathématique performant pour aider à la résolution d'équations.

Elles sont utilisées dans des domaines aussi variés que la résolution de systèmes d'équations bien sûr, en physique pour des équations mais également en recherche opérationnelle qui consiste en l'optimisation d'une solution : par exemple le cas du voyageur qui doit passer une fois et une seule par n villes réparties dans l'espace et ce dans le temps le plus court, ou en empruntant le trajet le plus court.

Les matrices se retrouvent également dans notre vie quotidienne : les données sont cryptées numériquement grâce à des matrices , ce qui oblige les téléphones portables et les ordinateurs à être truffés de calculs matriciels.

Les graphismes des jeux vidéo ou des films sont également calculés à partir de matrices.

Sans le savoir , nous les côtoyons chaque jour .

représentant les valeurs sans données inconnues.

On inscrit ainsi les données dans un tableau, en f-----------~ respectant le même ordre que dans RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D'ÉQUATIONS Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations qui dépendent les unes des autres.

À l'origine , on résolvait les systèmes d'équations à la main , mais l'invention des matrices a grandement simplifié les calculs par la capacité d'abstraction qu'elles apportent.

Afin de mieux mesurer certains de ces avantages , considérons un exemple où nous appliquerons en parallèle la méthode classique et la méthode matricielle .

Connaissant les montants de trois factures établies sur les achats , en quantités différentes , de trois produits distincts , on cherche à retrouver les prix par article de chacun de ces produits .

On sait que : • 3 packs d 'eau, 2 paquets de céréales et 19 t-shirts ont été achetés pour un montant de 100 euros.

• 4 packs d'eau, 31 paquets de céréales et 4 t-shirts ont été achetés pour un montant de 78 euros .

• la moitié d'un pack d'eau, 6 paquets de céréales et 7 t-shirts ont été achetés pour un montant de 56 euros .

On commence tout d 'abord par mettre le problème en équation , c'est-à-dire le traduire en termes mathématiques.

De manière générale , on écrit les systèmes de la façon suivante pour clarifier les calculs : on aligne sur une même colonne chaque valeur inconnue x, y ou z, à gauche du signe d'égalité; à droite du signe d'égalité se trouvent les coefficients qui ne concernent pas les données indéterminées.

Pour ce qui nous concerne , cela revient à appeler x le prix d'un pack d'eau, y celui d 'un paquet de céréales et z celui d'un t-shirt .

Les coefficients qui ne concernent pas les données indéterminées sont ici le prix total payé pour chacune des trois factures .

3x+ 2y+ l9z =l00 4x+3 1y + 4z=78 _!_x+ 6y + 7z =56 2 Pour passer à la notation matricielle , il suffit de recopier les données que nous avons soigneusement organisées en colonnes et qui forment presque un tableau que nous allons matérialiser.

La première colonne est celle des coefficients de x, la seconde celle des coefficients de y, la troisième celle des coefficients de z.

Enfin , la dernière est celle le système et en supprimant simplement après chaque coefficient la valeur à laquelle il se rapporte.

Toutes les opérations que l'on fera ensuite (additions, multiplications) auront lieu sur les lignes en entier : on agira donc en parallèle sur les lignes du système, et sur les lignes de la matrice -ce qui correspond à ne pas mélanger les x, les y, les z et les coefficients sans données inconnues (c'est-à-dire à ne pas confondre les packs d'eau, les paquets de céréales et les t-shirt), ce qui se produirait si jamais on procédait à des manipulations sur les colonnes.

L'exemple est détaillé dans l'encadré ci-contre .

Dans la colonne de gauche se trouve la méthode classique alors que la méthode matricielle se trouve dans la colonne de droite .

L'avantage des matrices est d'effectuer les mêmes calculs que dans le système mais dans un tableau, avec les données alignées les unes sous les autres selon leur nature.

De plus, on y retrouve mieux la présence des zéros qui correspond à la disparition de certaines données inconnues .

Cependant, l'utilisation de matrices repose sur des conventions : le choix de ce que représentent les colonnes, et le fait de n'effectuer les opérations que sur des lignes toutes entières.

C'est pourtant grâce à de tels avantages qu'on utilisa au départ les matrices , avant de découvrir bien d'autres propriétés pratiques tant pour la résolution des systèmes que pour rendre compte de situations complexes comme on peut en trouver en physique et en mécanique plus particulièrement.

DÉFINITION ET NOTATIONS Une matrice est un tableau d 'éléments , qui sont généralement des nombres.

On parle de matrice à n lignes et p colonnes et on écrit : M =[m " m,,][:{m,t_,"·"''' 111,.1 111,.,, :.----;;p - ---+ où chaque élément rn;; est en fait une case du tableau.

Plus précisément , rn;; représente l 'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j du tableau .

On note Mn.p l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes Exemple: ( 1 2 A= : -: 17 8) 4 1,5 6 -7 Exemple d'application 3x + 2r+l9z -100 4x + 3h + 4:-78 !..x + (n+ ?z-56 2 31 19 100 78 56 On multiplie par 2 tous les coefficients de la dernière ligne, pour faire apparaître un coefficient 1 sur le x, c'est-à-dire un coefficient 1 dans la première case de la dernière ligne de la matrice .

{ 3x + 2.y+l9z ·IOO 4x + 3 h + 4z • 78 x+12.

+14z-112 ( 3 2 19 100) 4 31 4 78 1 12 14 112 La dernière ligne devient dorénavant la première ligne, celle qui va nous permettre de continuer la résolution, et de trouver enfin la valeur de x une fois tous les calculs menés à bien.

{ x + L +14z •ll2 3x + 2 +19z -IOO 4x + 1 J l + 4= -78 ( 1 12 14 112) 3 2 19 100 4 '1 4 78 Cette fois, nous allons faire disparaître les x des deux dernières lignes du système, pour ne plus avoir que deux équations à deux inconnues qui seront y et z sur lesdites lignes .

Pour ce faire , on effectue les opérations suivantes : deuxième ligne- (3 x première ligne) troisième ligne- (4 x première ligne).

On procède de même dans la matrice , ce qui fera apparaître deux zéros sur les deux dernières lignes de la première colonne.

{x + 1' +14z•l12 4 -23z • -206 -52z - -346 ( ~ - 4 14 112) -23 -206 -52 -346 Pour continuer les calculs, on inverse la deuxième et la troisième ligne : cela fait passer tout en bas la ligne avec le plus grand coefficient en y, et permet des calculs moins compliqués .

+ 14: -112 -52: --346 -23: --206 14 17 -52 -23 1 12 ) -346 -206 On fait à présent disparaître y de la dernière ligne, pour qu'il n'y reste plus que z.

On ne revient pas tout de suite à un coefficient 1 pour y sur la deuxième ligne parce que les coefficients en y de la deuxième et de la troisième ligne sont multiples l'un de l'autre .

On effectue donc cette fois l'opération suivante : troisième ligne- (2 x deuxième ligne) .

Comme pour x, on fait apparaître un zéro dans la matrice dans la deuxième case de la dernière ligne.

{ x + l2 + 14z- 112 1 -52: --3 46 81:-486 (1 L 0 1 0 0 14 -52 81 112 ) -346 486 Nous obtenons maintenant facilement la valeur de z, ce qui revient en réalité à faire apparaître un coefficient 1 devant z sur la dernière ligne, c 'est-à-dire un 1 dans la troisième colonne sur la dernière ligne de la matrice.

r-.

. ..

, ..

, 12 14 112 52 346 0 1 52 346 +-z -- 17 1 7 17 17 :-6 0 6 Il ne reste plus qu'à finir la résolution du système , en remplaçant z par sa valeur , nous obtenons la valeur de y dans un premier temps , puis celle de x aussitôt après.

l'= 346 -52X6 =~=l l x+ 12r+ 14: = 112 17 17 :=6 { x = 106- 12x 2-14x6 = 4 r =2 z=6. »