Les intégrales

« UNE NOTION RÉCENTE ff(x)dx, la plupart des étudiants de terminale font sûrement des cauchemars à l'approche de l'épreuve de mathématique du baccalauréat en pensant à cette notation mystérieuse sous la forme d 'un S allongé.

Et pourtan~ si l'intégrale est enseignée aujourd'hui à tous les lycéens , cet objet mathématique n'a qu'un peu plus de 300 ans.

C'est en effet à la fin du XVI' siècle que le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz , à qui l'on doit cette notation particulière du signe intégrale , et que le scientifique anglais Isaac Newton ont initié indépen­ damment le calcul infinitésimal, avec d'une part le calcul intégral et d'autre part le calcul différentiel.

Ils ont tous les plus aisé de calculer .

C'est l'interprétation directe de l'opération qu'effectue une intégr ale sur une fonction à une seule variable.

Par extension, l'intégrale peut être également utilisée pour calculer la longueur d 'une courbe ou un volume.

Mais ce n'est là qu'une facette de l'intégrale car derrière cet outil se cache une foule de notions qui définissent les fondements de l'analyse mathématique moderne : la fonction mathématique , la notion de continuité d 'une fonction, la notion de limite et donc d'infini et également la notion de dérivée.

L'efficacité de l'intégrale est telle qu'on la retrouve aujourd 'hui dans tous les champs de la connaissance où les mathématiques jouent un rôle essentiel ; par exemple dans de nombreux domaines de la physique tels que la mécanique , l'électricité ou l'optique mais aussi en traitement de l'image et du son, ou encore en économie.

deux formalisé l'étude des varia tions Le calcul infinitésimal s'est d'une fonction mathématique sur un intervalle donné en subdivisant celui-ci en une infinité de petites portions , pour ensuite observer le comportement local de la fonct ion sur chacune de ces portions ; l'idée étant que sur un intervalle infiniment petit (infinitésimal), les variations de la fonction seraient moins complexes et il serait alors beaucoup plus facile de r éaliser une approximation à l'aide de fonctions connues.

Dans le cas du calcul de surface, par exemple, l'aire comprise entre une courbe et l'axe des abscisses (axe horizontal) peut être coupée en une infinité de petites surfaces qu'il est développé au xv~ puis au xvii' siècle pour tenter de répondre à deux problèmes mathématiques majeurs : tout d'abord la détermination des aires et des volumes , qui nous concerne directement puisqu'il s'agit là du développement du concept d'intégrale , et puis auss i le calcul des tangentes à une courbe et la recherche de ses maxima et minima , il s'agit ici du concept de dérivée .

Et comme nous le verrons par la suite, ces deux notion s sont étroitement liées , mais intéressons-nous plus particulièrement à la quest ion du calcul des surfaces et des volumes.

Dès l'Antiqu ité, les prem ières grandes civilisations se sont intéressées à cette question , notamment les égyptiens.

Ainsi , dans le papyrus Rhind, une des principales sources des connaissances mathématiques égyptiennes, le scribe Ahmès a consigné vers 1650 avant notre ère une série de 87 problèmes avec leur solution.

Parmi les sujets abord és, on trouve des calculs de surfaces et de volumes , appliqués à des cas concrets : par exemple, les Égyptiens détermina ient la surface des champs (carrés , rectangles , triangles et disques), le volume des greniers à grains (parallélépipèdes) ou celui des pyramides , qu'elles soient entières ou bien tronquées .

Si les résultats énoncés sont exacts lorsqu 'ils sont traduits dans le langage math émati que moderne , ils ne sont en reva nche pas démontrés .

Ce sont les Grecs qui vont faire des mathémat iques une discipl ine à part entière et qui vont développer l'art d e la démonstrat ion.

Ainsi , pour déterminer des aires ou des volumes, Eudoxe de Cnide (v.

408 - v.

355 av.

J.-C) et Antiphon (v.

430 av.

J.-C) élaborent la méthode d'exhaustion.

Celle-ci s'avérera particulièrement efficace puisqu 'elle traver sera le temps jusqu 'à Newton et Leibniz, elle sera don c utilisée durant 2000 ans.

La méthode d 'exhaustion consiste à« vider n une surface quelconq ue à l'aide de polygon es dont l'aire est calculable, ZÉNON (V.

4!Hi AV.

1.-C.) Le philosophe grec Zénon a développé plusieurs paradoxes autour du concept d'infini, pour montrer que l'interprétation grecque du monde éta~ incomplète.

Un de ces paradoxes consiste à prendre l'exemple d 'un individu souha~ant atteindre un mur situé à 2 mètres de lui.

Il doit d'abord se rendre à la moitié de cette distance, soit 1 mètre.

Pour parcour ir le mètre restan~ il se rend à la moitié de cette distance , soit 50 cm, puis à la mo~ié des 50 cm restants donc 25 cm, et ainsi de suite.

En réitérant cette opération plusieurs fois, Zénon en déduit que d 'où son appellation qui provient du mot latin exhaustio, signifiant l'action d'épuiser, vider .

L'idée centrale de cette méthode est qu'il est possible d 'augmenter progressivement le nombre de côtés du polygone inscrit dans la surface que l'on souhaite calculer, de telle manière que la différence entre cette surface et celle du polygone devienne négligeable.

Prenons l'exemple d'un cercle :on peut inscrire un triangle dans ce cercle puis augmenter le nombre de côtés du polygone pour que la surface de ce dern ier devienne de plus en plus proche de celle du cercle.

Cette opération est répétée un nombre fini de fois, jusqu'à ce que l'on considère que la d ifférence entre la surface du disque et celle du polygone est devenue assez petite pour être ignorée .

Dans son œuv re Les Éléments , qui récapitul e trois siècles de théorèmes en arithmétique et en géométrie , Euclide (365 -300 av.

J.-C) va utiliser la méthode 1------------'-----------....l.------------i d'exhaustion pour calculer des Méthode d'exhaustion A Le cas de la parabole · on augmente le nombre de triangles de façon à réduire la surface entre la parabole et les triangles.

Le cas du cercle : on augmente le nombre de côtés du polygone jusqu'à ce que la diffé rence entre sa surface et celle du cercle devienne négligeable.

E surfaces et des volume s de formes de plus en plus compliquées (cônes, sphères ...

), mais il va surtout démontrer que« les surface s des cercles sont comme les carrés de leurs diam ètres n (Livre Xli des Éléments d 'Euclide, propositio n 2).

C'est Archimède {287 -217 av.

J.-C) qui va généra liser cette méthode , il va l'étendre au calcul des surfaces délimitées par des courbes , notamm ent par des paraboles.

Dans le cas de la parabole r par exemple , il trace une droite (BC) parallèle à la tangente à la parabole en A .

Pour calculer l'aire délimitée par la parabole et le segment [Bq, il va construire les triangles (ABC) puis (AEC) et (ADB).

Grâce aux propr iétés géomé triques de ces triangles , A rchimède trouve que la surface cherchée vaut 4/3 de l'aire du trian g le {ABC).

Pour démontrer ce résultat, il utilise la m éthod e d'exhaustion en construisant de plus l'individu n'atteint jamais le mur et que donc le mouvement est impossible.

Or, l'expérience nous montre que ce n'est évidemment pas le cas.

En fait, dans l'exemple précéden~ il faut calculer la somme de la série 1 + 1/2+ 1/4+ 1/8+ ......

+ 1/2" lorsque n tend vers l'infini.

On sait aujourd'hui qu'il s'agit d'une série géométrique (c'est-à-dire que chaque terme est le résultat de la multiplication du terme précédent par un terme constan~ ici 1/2) et que pour un nombre infini de termes, la somme est égale à 2 , ce qui résout le paradoxe de Zénon.

en plus de triangles , de façon à « vider n la surface restante entre les triangles et la parabole .

Il conclu t par une démonstration par l'absurde en montrant que la somme de ces surfaces triangulaires ne peut pas être différente du résultat pressenti plus haut ; on dit aujourd'hui que la série converge.

Mais la méthode d 'exhaustion, si elle préfigure réellement ce qui deviendra le calcul infinitésimal, souffre d'une lacune de taille pour être parfaitement rigoureuse : la notion d 'infini.

En effet, à quel mom ent considérer que la différence entre l'aire effectivement recherchée et la surface constituée des polygones est suffisamment négligeab le pour être évaluée comme nulle? Car le nom bre de poly gones construits prog ressivement est fini et par conséquent la quantité restante peut devenir certes très petite, mais jamais rigoureusement égale à zéro.

Et une appro che rigoureuse du calcu l infinitésimal ne pourra jama is avoir lieu sans avoir au préalable franc hi cet obstacle majeur de la pensée , mis notamment en avant par Z énon : l 'infini.

Du IX' au 'N' siècle, la civilisation arabe va assimiler puis faire fructifier les mathématiques grecques , esse ntiellement dans les domain es de l'algèbre, d e l' arithmétique et de la trigonométrie .

Mais c 'est en Europe occidentale que l'analyse, et plus particulièrement le problème de l 'évaluation de la surface comprise sous une courbe , va connaître une véritable renaissance au 'N' puis au xv' siècle.

Après s 'être affranchies de l'emprise de la religion , les mathématiques vont de n ouveau apporter des idées nouvelles , nota mment en matièr e de calcu l de surfaces.

C'est ainsi que l'Italien Notation mathématique de l'intégrale.

Notation mathématique del'infim .

f(x) Notation mathématique de la dérivée de la fonction f(x).

111 siècle av.

1.-C.

Euclirfe publie les Elemen~ ouvrage qw récapitule trois Siècles de théorèm es en arithmétiqu e et en géom étrie .

1684 Publicati on dans Jo revue of/emonde Acta Eruditorum du premier article de Leibniz sur le calcul infinit ésimal , Nova Methodus pro maxim is et minimis.

Takakazu Seki Kowa (1642 -1708) Mathématicien japonais contemp orain de Newton et Leibni z, il a développé de son côté une forme de calcul intégral .

à la fin du xvne siècle. »