Les intégrales

« 1 Classe : Terminale Spécialité Chapitre 1 3 : Calcul intégral 1. Intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ; b ].

Le plan est rapporté à un repère orthogonal .

L’unité d’aire notée u.a.

est l’aire du rectangle OIKJ. Définition 1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b] .

On note Cf sa courbe représentative relativement au repère .

On appelle l’intégrale de a à b de la fonction f l’aire, en u.a , du domaine situé entre la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équation x=a et x=b .

On la note : .

Schéma pour ∫ �(��)��� 2 −1 qui l’aire de la partie colorée : Remarques :  Les réels a et b s’appellent les bornes de l’intégrale ;  La variable x dans est dite muette : elle n’intervient pas dans le résultat = …  Si a = b,  relation de Chasles : pour tout réel c de l’intervalle [ a ;b], .

 Pour toute fonction continue et positive sur un intervalle [ a ;b], .

 Pour toutes fonction s � ��� � continue s et positive s sur un intervalle [ a ;b] telles que : �(��)≤ �(��)���� ���� �é�� �� �� [� ;�],∫ �(��)��� ≤ ∫ �(��)��� � � � � .

 dans le cas d’une fonction monotone , la méthode des rectangles permet d’encadrer une intégrale Exercices 1 et 2 p : 243 Exercice s 3 p : 243 et 41 p 255 après avoir étudié la méthode 2 p : 243 2. Intégrale et primitives d’une fonction continue et positive : Théorème 1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b].

La fonction F définie sur l’intervalle [a ;b] par est dérivable sur l’intervalle [a ;b] et vérifie Ce qui signifie que est la dérivée de F ou encore que F est une primitive de f sur l’intervalle [a ;b] �� est la primitive de � qui vérifie ��(�)= ��   O;OI;OJ   O;OI;OJ () b a f x dx () b a f x dx () b a f x dx () b a f t dt ( ) 0 a a f x dx   ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx     ( ) 0 b a f x dx   ( ) ( ) x a F x f t dt  '( ) ( ) F x f x  f. »