Les dérivées

« évisions n°1 : Fonctions ! Ex.

1 /Soit fla fonction dénie pour x6 = 1 et x6 = −1 par f(x ) = x 3 + 2x2 x 2 − 1 et C sa représentation graphique dans un repère du plan. ➤A.Etude d’une fonction auxiliaire Soit gla fonction dénie dans par g(x ) = x3 − 3x − 4. 1.

Dresser le tableau de variation de g. 2.

Montrer qu’il existe un unique tel que g( ) = 0, puis déterminer une valeur approchée à 10 − 2 près de . 3.

En déduire le signe de g(x ) sur . ➤ B.Etude de la fonction f 1.

Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de dén ition. 2.

Montrer que pour tout x6 = 1 et x6 = −1 on a f′ ( x ) = x .g (x ) (x 2 − 1)2 ; en déduire le tableau de variation de f. 3.

Déterminer les abscisses des points de la courbe Coù la tangente est parallèle à la droite d’équation y= x+ 2. Ecrire une équation de chacune de ces tangentes. Ex.

2 /On considère la fonction fdénie sur par : f(x ) = −x3 + 2x2 − x− 1 et C, sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 1.

Etudier la fonction (limites et variations). 2.

Montrer que l’équation f(x ) = 0 admet une unique solution dont on déterminera un encadrement d’amplitude 10 − 3 . 3.

Etudier, en fonction de x, le signe de f(x ). 4.

Déterminer l’équation de la tangente T 0 à C , au point d’abscisse 0. 5.

Etudier la position relative de Cet de T 0. 6.

Existe-t-il un autre point de la courbe pour lequel la tangen te àCest parallèle à T 0. Si oui, déterminer ses coordonnées et une équation de cette s econde tangente. 7.

Construire dans un repère orthonormé la courbe représentat ive defainsi que les droites précédentes. Ex.

3 /Soit la fonction f:x 7−→ 3 x + 1 x3 − 3x + 3 1.

Procéder à une étude de fonction pour déterminer le nombre tel que D f= − { }. Donner un encadrement d’amplitude 10 − 1 de ce nombre. 2.

On pose P(x ) = 2x3 + x2 − 4.

Montrer que f′ ( x ) = 0⇐⇒ P(x ) = 0. Montrer que le polynôme Pn’admet qu’une seule racine , en donner un encadrement d’amplitude 10 − 1 . Donner le signe de P et en déduire le tableau de variations de f. 3.

Donner les limites aux bornes de l’ensemble de dénition.

In terpréter géométriquement et compléter le tableau de variations de f. 4.

Tracer la représentation graphique de fdans un repère orthonormé. Lycée du Granier – 1 – Tspé. »