Les coniques

« Corrigés des exercices sur les coniques --*-- Page 1 Les coniques Le plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormal (O; ¾ ¾¾ ¾® ®® ®i , ¾ ¾¾ ¾® ®® ®j ) 1-) a-) Déterminer une équation cartésienne de la parabole de foyer F       1 2, 2 et de directrice D: x = 3.

–––––––––––––––– On appelle (P) cette parabole.

M( x, y)Î (P) Û MF 2 = d(M, D) 2 Û       1 2 – x 2 + (2 – y) 2 = ( x – 3) 2 12 + 0 2 M( x, y)Î (P) Û 1 4 – x + x 2 + 4 – 4 y + y 2 = x 2 – 6 x + 9 Une équation cartésienne de (P) est donc: 4 y 2 + 20x – 16 y – 19 = 0 .

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 1-) b-) Déterminer une équation cartésienne de la conique d 'excentricité 5, de foyer F(3, 2) et de directrice associée d'équation y = 1.

–––––––––––––––– L'excentricité est supérieure à 1 donc il s'agit d'une hyperbole (H).

M( x, y)Î (H) Û MF 2 = 25 ´d(M, D) 2 Û ( x – 3) 2 + ( y – 2) 2 = ( y – 1) 2 02 + 1 2 M( x, y)Î (H) Û x 2 – 6 x + 9 + y 2 – 4y + 4 = y 2 – 2y + 1 Une équation cartésienne de (H) est donc: x 2 – 6x – 2 y + 12 = 0 .

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––– 1-) c-) Déterminer une équation cartésienne de l'ellipse ta ngente à (O, ¾ ¾¾ ¾® ®® ®i ) de sommets principaux A(5, 1) et A'(1, 1).

–––––––––––––––– Géométriquement, le point de contact de l'ellipse (E) avec (O, ¾®i ) est B(3, 0) et le centre de l'ellipse est W(3, 1).

Par suite, a = AA' 2 = 2 et b = WB = 1.

Dans le repère ( W, ¾®i, ¾®j), (E) a pour équation X 2 4 + Y 2 = 1.

Quand on revient dans le repère (O, ¾®i , ¾®j),    X = x – 3 Y = y – 1 ce qui donne ( x – 3) 2 + 4( y – 1) 2 = 4.

Une équation cartésienne de (E) est donc: x 2 + 4y 2 – 6x – 8 y + 9 = 0 .. »