Le paradoxe du Grand Duc de Toscane

« Le paradoxe du Grand Duc de Toscane Contexte historique Galilée (1554-1642) est surtout connu pour ses travaux en astronomie, faisant suite à son invention de la lunette astronomique.

Cependant, il rédigea vers 1620 un petit mémoire sur les jeux de dés pour répondre à une demande du Duc de Toscane (Galilée est alors Premier Mathématicien de l’Université de Pise et Premier Philosophe du Grand Duc à Florence). Galilée est ainsi l’un des premiers avec Cardan à avoir écrit sur le "calcul des hasards", mais leurs écrits n’ont été publiés qu’après la célèbre correspondance entre Pascal et Fermat qui marque "officiellement" le début de la théorie des probabilités.

Le mémoire de Galilée qui nous intéresse n’a été édité qu’en 1718. Présentation du paradoxe A la cour de Florence, de nombreux jeux de société étaient alors pratiqués.

Parmi ceux-ci, l’un faisait intervenir la somme des numéros sortis lors du lancer de trois dés.

Le Duc de Toscane, qui avait sans doute observé un grand nombre de parties de ce jeu, avait constaté que la somme 10 était obtenue légèrement plus souvent que la somme 9.

Le paradoxe, que le Duc avait exposé à Galilée, réside dans le fait qu’il y a autant de façons d’écrire 10 que 9 comme sommes de trois entiers compris entre 1 et 6 : 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 4 + 1 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 (6 possibilités) 9 = 6 + 2 + 1 = 5 + 3 + 1 = 5 + 2 + 2 = 4 + 4 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 (6 possibilités) Simulation A l'aide d'un tableur, on peut faire visualiser à l’écran d'un ordinateur les résultats de simulations de n lancers de trois dés : des histogrammes pour observer la répartition des sommes des trois numéros sortis, des nuages de points pour comparer l'évolution des fréquences des sommes 9 et 10.

Avec la possibilité de faire varier n et grâce à des "recalculs" quasi immédiats, on est alors placé devant l’ordinateur dans une position d’observateur actif nettement plus privilégiée que celle du Grand Duc : on peut observer que, pour n "très grand", la fréquence d’obtention de la somme 10 semble "presque sûrement" supérieure à celle de la somme 9. Elucidation Le paradoxe vient du fait que les possibilités dénombrées par le Grand Duc ne sont pas équiprobables : une somme comme 3 + 3 + 3 a trois fois moins de chance d’être obtenue qu’une somme comme 5 + 2 + 2 , et six fois mois qu'une somme comme 4 + 3 + 2 . Plusieurs démarches permettent de calculer les probabilités d'obtenir une somme égale à 9 ou à 10 (cf.

annexe au verso) : on trouve respectivement 125/216 et 127/216 , soit 0,116 (environ) et 0,125 . Prolongements On peut espérer pour l’avenir que les élèves auront été sensibilisés au problème du choix d’un univers sur lequel l’hypothèse d’équiprobabilité des issues puisse être admise ou non.

Cette question est loin d’être évidente et sa résolution a d’ailleurs rencontré historiquement de sérieux atermoiements comme l’atteste l’article "croix ou pile", pourtant beaucoup plus tardif, de d’Alembert dans l’Encyclopédie (publiée entre 1751 et 1772).. »