le paradoxe de st petersbourg

« Paradoxe de St Petersbourg : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg se résume à la question suivante: pourquoi alors que mathématiquement l'espérance d’un gain est infinie à un jeu les joueurs refusent-ils de jouer tout leur argent? Il se s’agit donc pas ici d'un problème purement mathématique mais d'un paradoxe du comportement des êtres humains face aux événements d'une variable aléatoire dont la valeur est probablement petite, mais dont l'espérance est infinie.

Dans cette situation, la théorie des probabilités dicte une décision qu'aucune personne raisonnable ne prendrait en réalité.

On peut donc se demander comment fonctionne ce paradoxe ? Historique : Ce paradoxe a été énoncé en 1713 par Nicolas Bernoulli.

La première publication est due à Daniel Bernoulli.

Mais cette théorie remonte à un courrier privé de Gabriel Cramer à Nicolas Bernoulli, dans une tentative de réponse à ce paradoxe.

Pour ces deux auteurs, le joueur refuse de tout miser car il ne peut risquer de perdre tout son argent.

Mais ces idées ne seront reprises que bien plus tard. Le principe du jeu : Il oppose un joueur et une banque dans un jeu à somme nulle, c’est a dire que la banque gagne ce que le joueur perd, et inversement.

Le joueur parie une mise initiale, encaissée par la banque.

On lance une pièce de monnaie à pile ou face tant qu'elle sort pile.

Le jeu se termine quand face apparaît et alors la banque paie son gain au joueur.

Ce gain est initialement d'un euro, doublé pour chaque apparition de pile.

Ainsi, le gain est de 1 si face apparaît au premier lancer, 2 si face apparaît au deuxième, 4 au troisième, 8 au quatrième, etc.

Donc, si face apparaît pour la première fois au nième lancer, la banque paie 2 puissance n-1 euros au joueur. Calcul de l’esperence : Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 1 euro.

La probabilité pour que cela arrive est ½, ce qui donne une espérance de gain pour ce cas de 1/2× 1=1/2.

Si face intervient pour la première fois au 2e lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½×½=1/4, le gain est de 2 euros, ce qui aussi fait une espérance de gain de 1/2 euro pour ce cas.

Plus généralement, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½n, le gain est de 2(n-1) euros, d'où une espérance de gain de 1/2 euro pour ce n-ième coup. L'espérance s'obtient en sommant les espérances de gain de tous les cas possibles.

On somme une infinité de termes qui valent tous 1/2 : la somme est donc infinie.

Si l'on pouvait appliquer la loi forte des grands nombres, on en déduirait que le jeu est donc favorable au joueur (défavorable à la banque) dans tous les cas, sauf si la mise initiale était infinie.

Le paradoxe reside donc dans le fait que l’esperence soit infine, et donc que le joueur devrait être 100 % gagnant et pourrait miser toute sa fortune sans aucun problème. Demonstration : Pourquoi cela n’est donc pas possible ? 3 réponses à ce problème à l’heure d’aujourd’hui : - la loi des grands nombres ne s’applique pas car l’esperence est infinie.

Mais une version généralisée de la loi faible des grands nombres permet d'affirmer que le gain moyen de n {\. »