L'arithmétique

« LA SCIENCE DES NOMBRES calcul littéral a permis de formaliser les méthodes algébriques qui sont encore utilisées aujourd'hui.

l'arithmétique élémentaire décrite plus haut s'est alors enrichie et on peut décrire des arithmétiques plus formelles dites «d'anneaux principaux».

Les anneaux étant des structures mathématiques construites à l'image des nombres avec une multiplication et une addition.

C'est ainsi que l'on traite par exemple de l'arithmétique des polynômes .

l'addition et la multiplication -et leurs inverses, la soustraction et la division -sont les principales opérations étudiées en arithmétique.

Les ensembles de nombres Nombres rationnels Q ,----- Nombres entiers Z A l'origine, c'est-à-dire pour les premiers mathématiciens que sont les Grecs de l'Antiquité , il existe deux grandes disciplines mathématiques , d'ailleurs très imbriquées l'une dans l'autre :la géométrie et l'arithmétique (de arithmos , nombre).

Alors que la géométrie s'occupe des figures, l'arithmétique consiste en l'étude des nombres figurés et de leurs relations avec les différentes opérations qui sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (et ensuite les élévations au carré et au cube).

Plus tard, l'adoption de la numération de position à base 10 fait réaliser d'Immenses progrès dans cette branche des mathématiques, même si la base 2 est universelle pour les ordinateurs et la base 12 subsiste pour les heures .

l'arithmétique s'occupe plus particulièrement des nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3 ...

), mais aussi des autres nombres , des relations entre eux et des techniques permettant de les manipuler .

Ainsi on effectue une première 1-------------,-------------,-----------­ A partir du concept de division, l'arithmétique définit les nombres premiers , les nombres pairs et impairs , les nombres parfaits , etc.

Malgré la simplicité des énoncés des problèmes arithmétiques, leur résolution peut s'avérer très ardue et impliquer des concepts dépassant très largement la seule arithmétique.

Il existe d 'ailleurs encore aujourd 'hui de nombreuses questions ouvertes .

distinction entre arithmétique additive et arithmétique multiplicative .

La théorie des partitions fait par exemple partie de l'arithmétique additive, alors que l'étude de la fonction (phi) d'Euler fait partie de l'arithmétique multiplicative .

l'étude des propriétés des nombres entiers peut également parfois se plonger dans l'analyse qui est l 'étude des fonctions (réelles, complexes, p-adique, etc.) .

Cela donne lieu à différentes approches de l'arithmétique .

Par exemple , l'étude de la densité asymptotique des nombres premiers (leur distribution lorsque l'on «va vers 1------------1 l'Infini »), lait partie d'une i!iH113111iJ Pythagore (570-490 av J.-C) est l'un des premiers mathématiciens ~ considérer des problèmes liés aux nombres .

Outre le célèbre théorème qui porte son nom , on doit à Pythagore et à son école , les premiers concepts arithmétiques comme les nombres parfaits et amiables .

Un autre mathématicien grec , Diophante (325- 409) est à l'origine des équations dites diophantiennes qui sont emblématiques des questions de l'arithmétique.

Ce sont des équations à plusieurs inconnues dont les coefficients sont des nombres entiers et dont on cherche des solutions parmi les nombres entiers.

l'exemple le plus simple étant: 31 + 41 = 5'.

Après les grecs, l'arithméti que a pu se développer en grande partie grace à l'Invention de la numération décimale de position avec le zéro provenant d'Inde (V' siècle), transmise aux Arabes qui l'ont introduite en Occident vers le IX' siècle.

Ensuite l'Introduction du arithmétique asymptotique.

De façon encore plus abstraite, l'étude de la fonction l; (zéta) de Riemann où interviennent des notions appartenant~ la théorie des fonctions analytiques , fait partie de l'arithmétique analytique .

En lait l'arithmétique n'a pas de frontière bien définie , et ses problèmes peuvent concerner toutes les autres branches des mathématiques .

Un exemple très récent est le théorème de Fermat­ Wiles , dont l'énoncé est trés simple et à base de nombres entiers , de multiplications et d 'additions, et dont la démonstration en 1994 a nécessité , après plusieurs siècles , l'Intervention d'un nombre important de disciplines mathématiques .

ADDmON ET SOUmAŒON l'arithmétique est l'étude des relations des nombres avec les opérations, et en premier lieu avec la plus simple d 'entre elles, l'addition notée «+ ».

Cette opération , qui parait si évidente, est soumise à diverses propriétés : 1 - Si a et b sont deux nombres , on peut additionner indifféremment a à b et b à o.

On obtient alors le même résultat : a + b = b + o.

Par exemple , 3 + 5 = 5 + 3 = 8.

On dit que l'addition est commutative .

2 - Si o, b etc sont trois nombres , on obtient également le même résultat en additionnant (a+ b) à cou en additionnant a à (b + c) : ((a+ b) + c) =(a+ (b + c)).

Ex.

: ((1 + 2) + 3} = (1 + (2 + 3)) car (3+3)=(1 +5)=6.

On dit que l'addition est associative .

3 - Si a est un nombre, (o + 0) =o.

On dit que 0 (zéro) est l'élément neutre pour l'addition.

Ces trois propositions sont vraies pour n'importe lequel de ces types : entiers naturels (N), entiers relatifs (Z), rationnels (Q), réels (R), complexes (C) ...

Si l'on se restreint au cas des nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3 ...

), seules ces trois premières propriétés sur l'addition sont valables .

Mais si on y joint les entiers négatifs, on obtient alors les entiers relatifs : ...

- 2, - 1, o.

1, 2 , ...

dont l'ensemble est noté Z.

Dans ce cas on a une quatrième propriété : 4 - Si a est un nombre, il existe un nombre b qui ajouté à a donne le résultat o : (a+ b) =o.

Ce nombre est(- o).

Par exemple , 5 + (-5) =o.

Cette dernière assertion est à l'origine de la seconde opération de l'arithmétique : la soustraction .

Ces quatre propriétés sont fondamentales et permettent de débuter l'arithmétique .

PAmnoNs À partir de l 'addition , on peut déjà définir la théorie des partitions.

Une partition d'un nombre entier n. »