La topologie

topologie n.f. (angl. Topology; allem. Topologie). Géométrie souple qui traite en mathématiques des questions de voisinage, de transfor­mation continue, de frontière et de surface sans faire intervenir nécessai­rement la distance métrique.

En psychanalyse, le terme topologie se réfère essentiellement aux élabora­tions de J. Lacan (—> mathème). À partir de 1962, Lacan a développé dans le séminaire l'Identification la topologie du

tore, de la bande de Mitibius et du cross-cap. Celle-ci est résumée dans le texte l'Ètourdit de 1972. Le tore, qui est com­parable à la surface d'une chambre à air, représente l'enchaînement du désir au désir de l'Autre (fig. 1).

En effet, le signifiant de la demande se répète en faisant sur le tore une cou­pure qui tourne à la fois autour du «trou circulaire« du tore et autour du trou central. C'est-à-dire que la demande semble tourner autour d'un objet mais elle rate le véritable objet du désir, qui se situe ailluers, dans le trou central. Il faut alors se représenter le tore du grand Autre enchaîné avec le premier de telle sorte que demande et désir se situent ici de façon inversée.

Figure I. Le tore.

Ainsi, le désir du sujet névrosé repré­senté dans ces tores a pour objet la demande de l'Autre et, inversement, ce que le sujet demande, c'est l'objet de l'Autre. Dans la bande de Miibius, par contre, la coupure représentée par le bord unique de la bande cerne un objet a (fig. 2).

La bande de Miibius peut être illus­trée par une ceinture qu'on a refermée après avoir effectué une demi-torsion. Cette surface curieuse a la propriété de ne posséder qu'une seule face et qu'un seul bord. Cette bande, où l'endroit rejoint l'envers, représente bien le rap‑

(a)   

(b)   

Figure 2. La coupure de la bande de Mâbius. En haut (a), bande de Milbius; en bas (b), bande de Miibius bipartie. Cette bande comporte deux bords et deux faces alors que la bande de Mabius n'a qu'une seule face et un seul bord. (Lacan, Écrits, Éd. du Seuil.)

port de l'inconscient au discours conscient. Cela signifie que l'in­conscient est à l'envers mais qu'il peut surgir dans le conscient en tout point du discours. Il est possible de figurer l'interprétation comme une coupure médiane de cette bande, qui la trans­formerait alors en une autre bande munie de deux faces et de deux bords. C'est-à-dire que l'interprétation analy­tique mettrait en évidence l'in­conscient comme envers du discours dans le même temps où cet inconscient se désisterait comme tel.

Lacan montre dans l'Étourdit la trans­formation du tore névrotique en bande de Mêibius par la coupure interpréta­tive. Le bord unique de la bande de Miibius est l'équivalent d'un cercle, si bien que ce bord peut servir de fron­tière à un disque qui viendrait ainsi fermer la bande de MCibius. Cette opé­ration ne peut s'imaginer dans l'espace à trois dimensions qu'en admettant un artifice, c'est-à-dire que les surfaces puissent se traverser. La surface ainsi formée n'a plus de bord. Elle ressemble à une sphère mais, comme la bande de Miibius, elle n'a qu'une seule face, c'est-à-dire que l'intérieur commu­nique avec l'extérieur. C'est le cross-cap, un modèle du plan projectif (fig. 3).

Le disque, la rondelle fermant la bande de Mbbius, constitue l'objet a. Cet objet a, qui échappe donc au niveau du tore, se découpe sur le cross-cap. Cette topologie soutient le mathème du fantasme ($ 0 a), où la coupure du sujet est représentée par la bande de Mbbius alors que l'objet a est figuré par la rondelle.

LE SCHÉMA R

Armés de cette topologie, abordons la description du schéma R et le schéma Ide la Question préliminaire à tout traitement possible de la psychose.

Le schéma R (fig. 4) contient le trajet Saa'A déjà rencontré dans le schéma L du séminaire sur la Lettre volée (-*

mathème), où la relation symbolique du sujet S et de l'autre A se double de la relation imaginaire du moi a' et de ses objets a.

Nous pouvons, grâce au séminaire la Relation d'objet, contemporain de la rédaction de ce texte, retracer les lignes de construction du champ de la réalité dans ce schéma R.

C'est la relation symbolique mère-enfant qui constitue le premier axe de cette réalité. Mais cette relation sym­bolique, dès le début, ne se réduit pas à la dépendance de la satisfaction ou de la non-satisfaction des besoins; l'en­fant est dépendant de l'amour de cette mère, c'est-à-dire du désir de son désir.

Le stade du miroir permet d'intro­duire une certaine dialectique dans ce système primitif en offrant à l'enfant une perception à la fois réelle et irréelle, une image captivante et aliénante (1). Du fait de la prématurité de cette image s'ouvre une faille dans l'imaginaire qui répond à une autre béance dans le sym­bolique du côté de la relation à cet Autre qui est là, témoin de la scène. M désigne cet Autre réel, cet objet pri­mordial maternel, support de «la Chose «. L'image i constitue alors un point d'appui, une limite de la réalité. Ce repérage offre au sujet la possibilité

d'entrer en sens contraire, pour les identifications du moi (m), dans un autre champ constitué par le triangle mIM, homologue et inverse du triangle miM. Ces identifications successives se font dans la direction du symbolique où le moi prend la fonction d'une série de signifiants avec pour limite l'idéal du moi I, au niveau paternel. Le champ miMI de la réalité se constitue donc en direction du symbolique et se trouve semé de signifiants. L'identification à l'idéal du moi du côté paternel permet, dit Lacan, « un détachement plus grand par rapport à la relation imaginaire qu'au niveau de la relation à la mère.

L'identification du sujet au phallus imaginaire, au sommet du triangle imaginaire i rp m, en tant qu'objet du désir de la mère, doit être «détruite corrélativement au dévoilement en A, le lieu de l'Autre, du Nom-du-Père P, au sommet du triangle symbolique IPM destiné à recouvrir le triangle imagi­naire.

La note de 1966 du texte des Écrits permet d'identifier le schéma R à un plan projectif étalé, c'est-à-dire un cross-cap; en effet, il est possible de joindre les points antipodaux sur les bords de ce carré. C'est déjà ce que

Figure 3. La topologie du cross-cap.

À gauche (a), k cross-cap; au centre (b), la coupure en double boucle du cross-cap; à droite (c), la

bande de Mabius. La rondelle de l'objet a ferme la bande de Mabius pour constituer le cross-cap.

suggèrent les lignes pointillées et la dis­position des lettres mM, iI. (Nous pou­vons imaginer que localement m vient se placer à l'envers de M, i à l'envers de I, mais cet envers étant en fait sur la même face que l'endroit.)

Dans cette opération, le quadrangle miMI se transforme en bande de Môbius et les triangles S et I ne forment plus qu'un seul disque, ou rondelle, s'appuyant sur la bande de Môbius grâce à la frontière commune. C'est cette frontière commune qui est comti-tuée par la coupure unique i MI, c'est effectivement la seule véritable coupure de la surface, le bord du carré n'étant en fait qu'artificiellement figuré puisque destiné à être recollé à lui-même, chaque trait plein correspon­dant au trait pointillé antipodal.

Cette coupure isole une bande de Môbius qui recouvre le champ de la réalité. Il existe une identité paradoxale de cette coupure et de la bande de Môbius du point de vue topologique. C'est pourquoi, sur cette bande, «rien n'y est mesurable qui soit à retenir de sa structure c'est-à-dire que la largeur de la bande n'a pas de valeur structu‑

Figure 4. Schéma R.

Le champ de la réalité (i7 se situe entre le champ imaginaire I et le champ symbolique P Le recol­lement antipodal du bord en pointillés au bord en traits pleins du carré permet de reconstituer le plan projectif du cross-cap. (Lacan, Écrits, Éd. du Seuil.)

rale. Par cette coupure, le réel constitue la frontière entre l'imaginaire et le sym­bolique, qui se retrouvent pourtant sur le même bord. Si l'écran du fantasme vient obturer le champ de la réalité, il n'efface pas la coupure du réel, qui reste marginale. En effet, c'est cette coupure qui donne le cadre, la structure du fan­tasme; la coupure du plan projectif est aussi bien symbolisée dans la barre du sujet $ que dans le losange <> qui arti­cule, dans la formule du fantasme, $ à l'objet, $ Q a. Ici, l'objet a correspond aux champs I et S, à la rondelle, et $ correspond à la bande, c'est-à-dire à la coupure.

LE SCHÉMA I

Dans le séminaire sur les Formations de l'inconscient, Lacan nous donne des élé­ments pour expliquer le passage du schéma R au schéma I (fig. 5, p. 288).

Dans la psychose, le champ de la réalité se trouve remanié. Il s'agit d'abord d'une régression topique, structurale.

À partir des triangles iMm et mMI, il faut concevoir, dans le sens inverse de celui signalé plus haut, le mouvement d'intrusion au niveau de la limite i de l'image du corps propre dans le champ R, et, au niveau du moi, un déchaîne­ment des signifiants. Ces deux mouve­ments viennent distordre le champ de la réalité toujours limité par les lignes mi et MI. La forclusion du signifiant paternel forme un gouffre du côté sym­bolique, auquel répond un autre gouffre du côté imaginaire. Ces deux trous incurvent les lignes mi et MI et renvoient à l'infini les quatre repères fondamentaux du sujet, m, i, M et I, ce dernier, le créé I, venant à la place de P comme attiré par le vide, selon un mouvement accéléré sur une trajec­toire infinie hyperbolique. Il est aisé de retrouver la forme générale du schéma I par cette transformation du champ R, conçu comme formé de deux triangles homologues et inverses.

Cette transformation implique une modification radicale du rapport topo­logique des places de m et de M, M et m viennent se placer de part et d'autre du côté symbolique et du côté imaginaire de la ligne principale, de l'axe de ce schéma, qui constitue leur asymptote commune dans leur course à l'infini dans l'espace et le temps. Lacan se réfère ici à Freud et à son terme asymp-totisch pour qualifier la conjonction désirée du moi délirant et de son Dieu. Contrairement au schéma R, qui a la topologie du plan projectif, il est pos­sible pour le schéma I d'évoquer le plan hyperbolique.

NŒUD BORROMÉEN

La distinction du réel, du symbolique et de l'imaginaire est essentielle dès les premiers séminaires de Lacan. En mon-

trant que l'inconscient est structuré comme un langage, le rôle déterminant du symbolique a été souligné et en particulier sa primauté sur l'imaginaire. L'imaginaire est lié à l'image du corps et à la relation spéculaire du moi au petit autre. Quant au réel, il se dis­tingue de la réalité, qui n'est qu'un réel apprivoisé par le symbolique et l'ima­ginaire. Il ne peut se définir que par la butée de l'impossible, comme ce qui échappe justement au symbolique et à l'imaginaire. Dans le noeud borro-méen, utilisé par Lacan dès 1972, réel, symbolique et imaginaire consistent en trois anneaux absolument distincts dans le sens où ils sont libres deux à deux. Ils ne font pas chaîne l'un avec l'autre. Le noeud réalise le lien de ces trois dimensions sans qu'aucune d'elle ne s'enchaîne à aucune autre. La cou‑

Figure 5. Schéma L Le champ de la réalité rd' est remanda'a frit de k ibrdustOn du Nom-du-Père: P. (Lacan, Écrits, Éd du Seuil)