La modélisation d’une épidémie permet-elle de prédire l’évolution d’une maladie ?

« Le Guide du Grand Oral Les ressources numériques pour les Mathématiques Question 4.

« La modélisation d’une épidémie permet-elle de prédire l’évolution d’une maladie ? » Quel plan détaillé ? EXEMPLE DE PLAN DÉTAILLÉ Introduction • Lors d’épidémies récentes, on a vu émerger l’utilisation de calculs mathématiques pour prévoir l’évolution, voire contrôler une épidémie. • Comment modélise-t-on ? Comment trouve-t-on les solutions mathématiques ? Les modèles obtenus sont-ils fiables ? • Nous allons, au travers deux exemples, comprendre comment se construit une modélisation mathématique. Partie 1.

Le modèle SIS 1.

Description du modèle 2.

Traduction mathématique par une équation différentielle 3.

Résolution mathématique du problème a.

Recherche d’état d’équilibre Théorème 1 : « Le système admet deux états d’équilibre » Éléments de démonstration b.

Résolution Théorème 2 Théorème 3 : Expression de S et I c.

Évolution à long terme de la maladie Théorème 4 4.

Limites du modèle Partie 2.

Le modèle SIR 1.

Description du modèle 2.

Traduction mathématique 3.

Étude des variations de et Théorème 5 Éléments de démonstration 4.

Approximation par la méthode d’Euler 5.

Limites du modèle Conclusion • Avant de prévoir, les modèles permettent de comprendre l’évolution des épidémies. • La modélisation a montré que l’évolution dépend de la valeur de certains paramètres.

Cependant, pour des maladies nouvelles, ces valeurs ne sont pas connues, ce qui laisse une incertitude. • Comme nous l’avons vu dans des épidémies récentes, cette compréhension peut permettre de contrôler l’évolution en modifiant la valeur ces paramètres. • Les modèles ne sont jamais le reflet exact de la réalité mais une simplification.

On peut les enrichir pour les rendre plus proches de la réalité mais cela complexifie la résolution mathématique.

Il s’agit donc de trouver un bon compromis et de savoir s’appuyer sur les méthodes numériques d’approximation des solutions. 8. »