La fonction logarithme népérien : propriétés algébriques

« '1" La fonction logarithme n ép érien : propriétés algébriques L'essentiel du cours Propriétés • Pour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : ln(ab) = ln(a) + ln(b) (relation fonctionnelle).

• Pout tout nombre réel a strictement posit if, on a : 1 ln-=-lna; • aPour tous les nombres réels a et b strictement positifs, on a : 1n( ~) = lna -lnb; • Pour tout nombre rée l a strictement positif, on a : ln✓a = ~lna ; 2 • Pour tout nombre réel a strictement positif et tout entier n, on a : ln a•= nlna.

Exemples 1 ln 6 = ln(2x3) = ln 2 + ln 3 ; ln 3 + ln 4 + ln - = ln(3x4) -ln(12) = ln(12) -ln(12) = O.

12 Équotion et inéquation avec la fonction logarithme népérien Soit a et b deux nombres réels, -lna = lnb si et seulement si a= b ; -lna < lnb si et seu lement si a< b (l'équivalence est vraie si les inégalités ne sont pas strictes) ; -lna > lnb si et seulement si a> b (l'équivalence est vraie si les inégalités ne sont pas strictes) ; -si, de plus, b E Il( : a= lnb , si et seulement si e• = b.

Exemple ln (3x + 1) >2ln2 ln(3x + 1)>ln4 3X + 1 >4 3X >3 x >1.

Résolution d'une équation du type x" = k Lorsq ue n est un nombre entier et k un nom bre réel strictement positif: -~ldJ.)t: l (util isation du logarithme) : x" = k = ln(x') = ln(k); -étape 2 (ut ilisation d'une prop riété de la fonction ln): ln(x") = ln(k) nln(x) = ln(k) ; -étape 3 (on divise les deux membres par n) : nln(x) = ln(k) ln(x) = lnk ; n '" -étape 4 (utilisation de l'exponentielle) : ln(x) = lnk e1nx = e 7; n -étape 5 (utilisation de la relation liant l'exponent ielle et le logar ithme) : 1nt lnk elnx = e n X = en.. »