La fonction exponentielle : propriétés graphiques

« ~La fonction exponentielle · propriétés graphiques L'essentiel du cours C'est en recherchant des fonctions dérivables sur !Hl dont la dér ivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle .

Celle -ci joue un rôle capital en mathématiques car c'est une fonction de référence.

Définition • La fonction exponentielle (x ......

e' = exp(x)) est l'unique fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels vérifiant tes deux conditions suivantes : -pour tout nombre réel x, exp '(x) = exp(x) et exp(O) = e0= 1 ; -pour tout nombre réel x, on a : ex.

e·•= 1 • On a e1= e"' 2,718.

• On a e·1 = ~ ...

0,368.

e Variation et représentot1on graphique • La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.

Pour tout nombre rée l x, en posant f(x) = ex, on a f'(x) = f(x).

• Pour tout nombre réel x, e" > o donc la fonction exponentielle est strictement croissante.

Tableau de variation X -oo 0 +oo f'(x) = e' + (~ f(x)=e x ----------- Cou rbe représentative de la fonction exponentielle l )·= t+ 1 ~ S· • l -$ -1 -6 --5 -' -.\ -1 Tangente au point d'abscisse o • Une équation de ta tangente à la courbe représentat ive de ta fonction exponen· tielle au point d'abscisse o est : y= j'(o)(x -O) + f(O) = e0x + e0 = x + 1.. »