Intégration par partie

« Intégration par parties 1 La formule On commence par rappeler la formule (uv)0 = u0 v + uv 0 . Cette formule signi…e que si u et v sont 2 fonctions dérivables sur I, alors u est dérivable sur I et on a 8t 2 I; (uv)0 (t) = u0 (t)v(t) + u(t)v 0 (t) ce qui peut aussi s’écrire u(t)v 0 (t) = (uv)0 (t) u0 (t)v(t) En intégrant cette égalité entre 2 bornes a et b on obtient Z b Z b Z b 0 0 u(t)v (t)dt = (uv) (t)dt u0 (t)v(t)dt a a a Mais, comme uv est visiblement une primitive de (uv)0 , on a Z a ce qui permet au …nal d’écrire Z b b (uv)0 (t)dt = [(uv)(t)]ba = [u(t)v(t)]ba 0 u(t)v (t)dt = a [u(t)v(t)]ba Z b u0 (t)v(t)dt a Nous pouvons maintenant énoncer correctement le théorème. Théorème 1 (Formule d’intégration par parties) : Soient u et v deux fonctions dérivables et à dérivées continues sur l’intervalle [a; b].

Alors, Z b 0 u(t)v (t)dt = a [u(t)v(t)]ba Z b u0 (t)v(t)dt a Remarque 1 : Mnémotechniquement, on retient généralement cette formule sous la forme Z Z 0 uv = uv u0 v 2 Premier exemple R1 Soit à calculer l’intégrale I = 0 (3t 5)e2t dt On ne peut pas calculer l’intégrale directement car on ne connaît pas de primitive de la fonction t 7! (3t 5)e2t , raison pour laquelle on va utiliser une intégration par parties. Reste à savoir qu’est-ce qu’on va poser égal à u, et qu’est-ce qu’on va poser égal à v 0 . L’idée est que ce qui nous gêne dans l’expression de la fonction, c’est le polynôme 3t 5.

En dérivant ce polynôme on obtiendra une constante, qui ne nous gênera plus. On a donc intérêt à poser u(t) = 3t 5 et v 0 (t) = e2t . 1 Pour pouvoir appliquer la formule il nous faut calculer u0 (t) (ce qui consiste à faire une dérivation) et v(t) (ce qui consiste à faire une primitivation). 1 On a donc u0 (t) = 3 et v(t) = e2t . 2 L’application de la formule donne Z 1 1 1 2t 1 2t 3 I = (3t 5) e e dt 2 2 0 0 d’où I = (3 1 5) 1 2 e 2 1 (3 0 1 2 e 2 5) R 1 3 2t e dt 0 2 0 5 3 R 1 2t e dt. soit I = e2 + 2 2 0 On s’aperçoit ici qu’on est ramenés au calcul d’une intégrale plus facile que celle qu’on avait au début. En e¤et, comme il.... »